8-LICZBY ZESPOLONE.doc

LICZBY ZESPOLONE

• Definicja liczby zespolonej:

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę z=(x,y) liczb rzeczywistych, tj. x,yR.

• Definicja równości, sumy i iloczynu liczb zespolonych:

Niech z1=(x1,y1) i z2=(x2,y2) będą liczbami zespolonymi. Definiujemy:

1)     równość liczb zespolonych z1 i z2: z1=z2x1=x2 ^ y1=y2

2)     dodawanie liczb zespolonych z1 + z2: (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1,y2)

3)     iloczyn liczb zespolonych z1∙z2: (x1,y1)∙(x2,y2)=(x1+x2-y1,y2,x1y2+x2y1)

• • Definicja liczby przeciwnej:

Liczbę zespoloną postaci (-x,-y) nazywamy liczbą przeciwną do (x,y).

• Definicja odejmowania liczb zespolonych:

Odejmowanie liczb zespolonych określamy wzorem: (x1,y1)-(x2,y2)=(x1,y1)+(-x2,-y2)=(x1-x2,y1-y2)

• FAKT: Liczby zespolone postaci (x,0), gdzie xR, mają następujące własności:

1)     (x1,0)+(x2,0)=(x1+x2,0)

2)     (x1,0)∙(x2,0)=(x1∙x2,0)

3)     (x1,0)-(x2,0)=(x1-x2,0)

4)     , gdzie x20

Z własności tych wynika, że zbiór można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych R. Stąd będziemy pisali x zamiast (x,0).

• Definicja liczby odwrotnej:

Liczbą odwrotną do liczby zespolonej z=(x,y), z0, nazywamy liczbę postaci:

przy czym spełniony jest warunek: .

Sprawdzenie:

z=(x,y)

Sprawdzamy, czy

                                                                                                                                                                        c.n.d.

• Definicja dzielenia liczb zespolonych:

Dzielenie liczb zespolonych z1 i z2 określamy wzorem:

• Definicja jednostki urojonej:

Liczbę zespoloną postaci (0,1), ozn. symbolem i, nazywamy jednostką urojoną.

UWAGA: Jednostka urojona i ma tę własność, że i2=-1!!!

Sprawdzenie: i2=(0,1)∙(0,1)=(0∙0-1∙1,0∙1-1∙0)=(-1,0)=-1

UWAGA: postać algebraiczna liczby zespolonej:

Każdą liczbę zespoloną z=(x,y) można zapisać w postaci:

z=x+iy

nazywaną postacią algebraiczną liczby zespolonej.

Sprawdzenie: z=(x,y)                            (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)∙(0,1)=x+yi                            c.n.d.

• Definicja części rzeczywistej i części urojonej:

Niech z będzie liczbą zespoloną postaci z=x+iy. Wówczas:

1)     liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, co zapisujemy: Rez=x

2)     liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, co zapisujemy: Imz=y

Liczbę zespoloną postaci z=iy, gdzie yR\{0}, nazywamy czysto urojoną.

• Definicja płaszczyzny zespolonej:

Każdej liczbie zespolonej z=x+yi odpowiada dokładnie jeden punkt o współrzędnych (x,y) na płaszczyźnie. Płaszczyznę, której punktom przyporządkowano liczby zespolone nazywamy płaszczyzną zespoloną, ozn. przez C, jej punkty nazywamy punktami płaszczyzny zespolonej.

Liczbom zespolonym postaci z=(x,0) odpowiadają punkty leżące na osi odciętych o współrzędnych z=Rez. Oś tę nazywamy osią rzeczywistą. Liczbom zespolonym postaci z=(0,y) odpowiadają punkty leżące na osi rzędnych o współrzędnych y=Imz. Oś tę nazywamy osią urojoną. Punkt (0,0) nazywamy zerem zespolonym.

              oś urojenia

                                                                                                                                               z1+z2­

Imz=y                                                                                                                                                         

                                                                                                                    z1

                                                                                                                                    z2

              (0,0)                        Rez=x                            oś rzeczywista

   zero zespolone

• FAKT: Równość liczb zespolonych w postaci algebraicznej:

Dwie liczby zespolone z1 i z2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są sobie równe, tj.: z1=z2Rez1=Rez­2 ^ Imz­1=Imz2.

• FAKT: Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej:

Niech z1=x1+y1i oraz z2=x2+y2i :

1)     dodawanie z1 + z2:               z1+z2=(x1+x2)+(y1+y2)i

2)     odejmowanie z1 – z2:               z1-z2=(x1-x2)+(y1-y2)i

3)    

iloczyn z1∙z2:                            z1∙z2=(x1∙x2-y1∙y2)+(x1∙y2+x2∙y2)i     -1

Sprawdzenie: z1∙z2=(x1+iy1)∙(x2...