twuc_13.pdf

1.3, Metody kodmettiiia

Suma {połączenie) zbiorów S oraz T (S u 7') to zbiór, którego

elementy należą do iS 1 lub Uo T; np.

{1, 3, 4} u {0, 3, 5) M {0, 1, 3, 4, 5}

Uzupełnienie zbioru S (S 1 ) to zbiór elementów nie należących do

S, np. jeśli 1= {0, 1, 2, 3, 4, 5}, to

{1, 3, 4}'={0,2, 5}

Zbiory S oraz T są rozłączne, jeśli 5 n T = 0-

Różnica zbiorów S oraz T (S-T lub S| 7 1 ) to zbiór, którego elementy

należą do S i nie należą do T\ np.

{1,3, 4} -{0,3, 5} -={1,4}

Można więc napisać: S" -I—S.

Jeśli we wzorach (1-1) do (1-16) zastąpi się sumę logiczną-—-sumą

zbiorów, iloczyn logiczny — iloczynem zbiorów, negację — uzupełnie-

niem, stalą 0 — zbiorem pustym 0, stalą 1—zbiorem peinym /, to

zależności te, podobnie jak i inne wzory dwu elementów ej algebry Boole'a (

będą obowiązywały dla algebry zbiorów.

1.3. METODY KODOWANIA

1.3.1. SYSTEMY ZAPISU LICZB

Informację na wejścia i wyjściu układu przełączającego często

dogodnie jest przedstawiać w postaci liczbowej, co umożliwia dyskretny

charakter sygnałów. Jednakże stosowane do tego opisu liczby nie zawsze

mogą być liczbami dziesiętnymi, skoro same sygnały są opisywane za

pomocą dwóch tylko symboli — U i 1. Powstaje więc konieczność wpro-

wadzenia systemu dwójkowego zapisu liczb.

Stosowany powszechnie system dziesiętny zapisu operuje dziesięcioma

różnymi znakami dla przedstawienia cyfr, a każdej cyfrze, w zależności

od jej pozycji względem przecinka, jest przypisana waga, będąca odpo-

wiednią potęgą podstawy 10. Zapis liczby jest więc umownym zapisem

współczynników przy odpowiednich potęgach 10

-ŁlO =

a « ••• «2«l#O —

1. Wiadomości p

2504 -: 240 3 +S;10 3 +0-10 1 +4-I<J°

W liczbach ułamkowych podstawa występuje w potęgach ujemnych,

a zatem ogólny zapis liczby dziesiętnej ma postać

L l 0 = «H ••• tfj«oi s_ifl_j ... a^i == 2_, «.-10

Przyjęcie za podstawę liczby 10 jest sprawą umowną (prawdopodob-

nie podyktowaną niegdyś liczbą palców u rąk); równie dobrze może to

być każda inna liczba, przy czym wiąże się to z liczbą różnych znaków-

cyfr, która zawsze jest taka jak podstawa. Tak więc ogólny zapis liczb

tworzonych na takiej zasadzie jak dziesiętna ma postać

L, = b„ ... &,&o.ft-i&-2 ••• b -> - Y. l >rP !

10110 - 1.2 4 +G.2 a +1.2 3 +l-2 l +0.2°

czyli 1011Ó 2 =22 10 .

Zmniejszenie liczby znaków zostało okupione zwiększeniem ilości

cyfr w liczbie, jednak dla maszyn pamiętanie i przetwarzanie licznych

prostych sygnałów dwuwartościowych jest zawsze łatwiejsze niż operacje

z mniejszą liczbą sygnałów wielowartościowych. System zapisu liczb

z P — 2 nosi nazwę systemu dwójkowego (binarnego); podobnie można

tworzyć system trójkowy, czwórkowy itd. Oto kilka liczb zapisanych

w systemie dziesiętnym i dwójkowym:

0— 0

1— 1

2— 10

3— U

4—100

5—101

6—110

7—

8—

9—

10—

111

1000

1001

1010

16—

32—

1000Ó

100000

np.

P oznacza podstawę, a P' — wagę pozycji i.

Przy P -•- 2 dowolne liczby mogą być zapisywane za pomocą tylko

dwóch znaków (zwykle 0 i 1), np.

1.3. Metody hodotuitiiia

Warto zapamiętać, że liczba 2" w systemie dwójkowym to jedynka

i n zer.

Istnieje wicie sposobów konwersji liczb z systemu dziesiętnego do

dwójkowego i odwrotnie, ale najprostsza jest metoda polegająca na

sumowaniu albo wydzielaniu wag. Należy tu jedynie pamiętać, że pozycje

liczby na lewo od przecinka mają wagi, kolejno: 1, 2, 4, S, 16, 32, .,.,

a na prawo od przecinka: 1/2, 1/4, l/S itd. Zamiana liczby dwójkowej

na dziesiętną polega na dodawaniu tych wag, dla których cyfra ma

wartość 1, np.

10110, 1

1 - 1/2

— 2

lub

101 10,1

16 + 4 + 2+1/2 - 22 1 ' 2

— 4

— 16

22 1 ' 2

Zamiana liczby dziesiętnej na dwójkową polega na wyszukaniu

największej liczby 2 k , takiej że 2* ^ L ia , oraz na sprawdzaniu, czy następ-

ne, mniejsze liczby 2' mieszczą się w różnicy L l0 ~ 2*, np.:

26,75 16 < 26,75 < 32

16 —1

16 + 8 - 24 < 26,75 —1 1

24 + 4 > 26,75 —110

24 + 2 = 26 < 26,75 —1101

26 + 1 > 26,75 -11010

26 + 1/2 = 26,5 < 26,75 —11 0 1 0,1

26,5+1/4 - 26,75 — 1 1 0 1 0,1 1

Oczywiście w praktyce nie robi się tak rozbudowanego zapisu, gdyż

większość działań można wykonać w pamięci.

Liczby dwójkowe są zwykle długie, co utrudnia zapis, zwiększa

możliwość pomyłek i wydłuża czas przy opisywaniu sygnałów. Aby

uniknąć tych wad, wprowadza się niekiedy (wyłącznie w charakterze

pomocniczym, przy sporządzaniu dokumentacji) grupowanie trzech

lub czterech cyfr dwójkowych i oznaczanie ich jednym symbolem.

1. Wiadomości padstmeawe

Łatwo zauważyć, że sprowadza się to do wyrażenia liczby w systemie

ósemkowym lub szestnastkowym, np.:

87, o = l0l0lll 3 .= 001 010 1 I 1 3 = 127 a

10101 1 l a =0101 0 111, =67 I 6

"W zapisie ósemkowym stosuje się oczywiście znaki systemu dziesięt-

nego, ale dla zapisu szesnastkowego znaków tych jest zbyt mało. Do

oznaczenia cyfr większych od 9 (10, 11,,..,15) są zazwyczaj używane

litery A, B, ..., F, np.

156 1 O = 1001 1100 3 =9Ci«

W niektórych urządzeniach cyfrowych operuje się liczbami binar-

nymi o 8 cyfrach binarnych; grupa tych ośmiu cyfr to tzw. byte (czyt,

bait). Ponieważ cyfra binarna występuje często pod nazwą bit, więc byte

to 8 bitów.

Niekiedy jest stosowany system zapisu liczb o podstawie P «s= 1 -

system jedynkozoy (unitarny). Wszystkie wagi P' tego systemu mają

wartość 1, więc liczbę N wyraża się przez ciąg N jedynek, np.:

3»-lllj 5,0 = 11111,

W celu oddzielenia od siebie takich ciągów stosuje się często zera, lecz

mają one tu charakter przerywników lub wypełniaczy, a nie cyfr.

Czynność przypisywania różnym informacjom odpowiednich sym-

boli jest nazywana kodowaniem, a zestaw symboli dla danej informacji —

kodem tej informacji, Opisany wyżej dwójkowy system zapisu daje więc

kod dwójkowy dowolnych liczb; jest to tzw. naturalny kod dwójkowy.

Nazwę tę trzeba wprowadzić dla odróżnienia od innych kodów dwójko-

wych, gdyż możliwych relacji między liczbą, a ciągiem zer i jedynek może

być bardzo dużo, Z wielu tych relacji korzysta się w praktyce dla uzyska-

nia pewnych specjalnych cech kodu, potrzebnych w danym przypadku.

Najczęściej chodzi tu o takie dobranie kodu, by urządzenia do dalszego

przetwarzania informacji byty możliwie najprostsze, a więc — by łatwa

była realizacja:

— operacji arytmetycznych,

—• zliczania impulsów,

— odczytywania kodu (dekodowania),

— zabezpieczania przed zakłóceniami sygnału,

— przystosowania do urządzeń zewnętrznych, itp.

1.3. Metody hado7uai>ia

1.3.2. KODY DWÓJKOWO-DZIESIĘTNE

Podstawową zaletą naturalnego kodu dwójkowego jest prostota

budowanych w tym kodzie układów zliczania impulsów, bardzo często

występujących w urządzeniach cyfrowych. Jednakże te proste układy

mają właściwość zliczania modulo 2" (H • —• liczba bitów kodu), tzn. liczby

JV, gdy N < 2" są w nich przedstawiane w naturalnym kodzie dwójko-

•wym, a gdy N 5= 2" — są przedstawione jako reszty z dzielenia N przez

2". Na przykład w 4-bitowym urządzeniu liczba dziesiętna 12 występuje

jako 110 0, natomiast liczba 20 jako 0100 (20— 2* ----- 4). Dobierając

odpowiednio duże n można uniknąć niejednoznaczności, ale taki sposób

pracy układów nie zawsze jest odpowiedni.

Układy przełączające bardzo często współpracują z urządzeniami

w których, dla wygody człowieka, informacja musi być przedstawiona

w dziesiętnym systemie zapisu liczb (np. wskaźniki cyfrowe, drukarki

wyników itp.). Bezpośrednio przejście od naturalnego kodu dwójkowego

do sysemu dziesiętnego jest trudne tto zrealizowania technicznego, gdyż

cyfry dziesiętne nie mają żadnego trwatego odpowiednika w ciągu symboli

binarnych. Realizacje są znacznie prostsze, gdy każdej cyfrze dziesiętnej

przyporządkuje się na stale określoną liczbę binarną, a więc gdy kodować

się będzie nie całą liczbę dziesiętną, lecz każdą cyfrę oddzielnie. Takie

kody są znane pod nazwą kodów dwójkozoo-dziesięfnych. Na przykład

37 l O - 1001011,

37 l 0 =0011 0111 2/1 0

jeśli 3 i 7 zakoduje się 4-bitowym kodem, naturalnym. Zwiększa się

wprawdzie potrzebna liczba bitów (np. do wyrażenia dowolnej trzy-

cyfrowej liczby dziesiętnej trzeba 10 bitów kodu naturalnego lub 12

bitów kodu dwójkowo-dziesiętnego), lecz prostota przetwarzania całko-

wicie to wynagradza.

Dziesięć cyfr dziesiętnych można zakodować binarnie na wiele

różnych sposobów i dlatego liczba możliwych kodów dwójkowo-dziesięt-

nych jest bardzo duża. Kilka częściej spotykanych kodów zestawiono

w tabl. 1-2. Cechą szczególną większości z nich jest to, że stanowią

odcinki czterobitowego kodu naturalnego utworzone przez usunięcie

kolejnych sześciu liczb, różnych w różnych kodach. Cecha ta ułatwia

realizację układów zliczania impulsów modulo 10, a nie modulo 16.

ale

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: