zadania2.pdf

(349 KB) Pobierz
Microsoft Word - stsam
ZADANIA Z METOD PROBABILISTYCZNYCH
I STATYSTYKI II do rozwiązania samodzielnego
1. Obliczyć i zbudować wykres dystrybuanty empirycznej według następu-
jących danych próbki:
x 1 4 6
n 10 15 25
2. Zbudować histogram częstości względnych według podanego niżej roz-
kładu próbki o liczności 100
Numer przedziału Przedział n
1
2
3
4
5
(1; 5]
(5; 9]
(9; 13]
(13; 17]
(17; 21]
10
20
50
12
8
3. W celu sprawdzania dokładności działania pewnego urządzenia dokonano
5 niezależnych pomiarów, których wyniki są umieszczone w tablicy:
Numer pomiaru 1 2 3 4 5
x
Obliczyć estymatory wariancji (obciążony i nieobciążony).
n , której wartości z odpowiednimi często-
ściami podane są w tablicy.
x 1 3 6 26
n 8 40 10 2
Znaleźć estymatory wartości oczekiwanej i wariancji (obciążony i nieob-
ciążony).
1
n :
2781 2836 2807 2763 2858
4. Mamy próbkę o liczności 60
393780582.007.png
5. Zmienna losowa  ma rozkład jednostajny na odcinku [ a ; b ] o gęstości
]
(
x
)
1
(
b
a
)
,
x
[
a
;
b
. Za pomocą metody momentów znaleźć esty-
matory parametrów a i b .
6. Zmienna losowa  (błąd pomiarów odległości) ma rozkład jednostajny z
parametrami nieznanymi a i b . W tablicy podano rozkład empiryczny
średniego błędu dla 200
n pomiarów odległości (w górnym wierszu
x ; w dolnym wierszu podano częstość n liczby po-
miarów ze średnim błędem i
x ).
x 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
n 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
i
Obliczyć za pomocą metody momentów estymatory punktowe parame-
trów a i b rozkładu jednostajnego.
7. Za pomocą metody momentów na podstawie danych próbki
x ...,
,
x
n
zna-
leźć estymatory parametrów nieznanych 1
 i 2
podwójnego rozkładu
1
x
i
e
1
1
x
i
e
2
Poissona
P
{
x
}
1
2
, gdzie i
x jest liczbą po-
i
2
x
!
2
x
!
i
i
jawienia się pewnego zdarzenia w n doświadczeniach,
1
, 2
0
, przy
czym 1
 .
2
8. Za pomocą metody największej wiarygodności na podstawie danych
próbki n
x ...,
1
,
x
znaleźć estymator parametru a (parametr  jest znany)
g
(
x
)
[
g
(
x
)
a
]
(
2
2
)
rozkładu Captaina o gęstości
f
(
x
)
e
, gdzie g ( x ) jest
2
funkcją różniczkowalną.
9. Za pomocą metody największej wiarygodności na podstawie danych
próbki n
x ...,
1
,
x
znaleźć estymator parametru  (parametr a jest znany)
g
(
x
)
[
g
(
x
)
a
]
(
2
2
)
rozkładu Captaina o gęstości
f
(
x
)
e
, gdzie g ( x ) jest
2
funkcją różniczkowalną.
2
f
podano średni błąd i
1
393780582.008.png 393780582.009.png 393780582.010.png 393780582.001.png 393780582.002.png
n pomiarów ciśnienia wody na ostatnim piętrze wyso-
kiego bloku i okazało się, że 21
2 s . Znaleźć przedział ufno-
ści dla średniego ciśnienia wody m przyjmując poziom ufności
a)
x , 41
2
4
.
1 
0
99
, b)
1 
0
98
, c)
1 
0
95
.
11. Odchylenie standardowe  błędu przyrządu pomiarowego jest znane.
Zakładamy, że rozkład błędów pomiarów jest rozkładem normalnym.
Przeprowadzono n =10 pomiarów, których wyniki zapisane są w tabelce.
Nr po-
miaru
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 7 7.5 8.5 8 6 7.5 6.5 5.5 7.5 6
Znaleźć przedział ufności dla wartości oczekiwanej m przyjmując 1
 i
 . Wyzna-
czyć także przedział ufności w przypadku b), ale nie zakładając znajomo-
ści parametru .
1 
0
99
, b)
1 
0
98
, c)
1 
0
96
12. W celu zbadania jakości partii kondensatorów zbadano maksymalną po-
jemność 15 kondensatorów. Uzyskane wyniki były następujące (w pF):
62, 57, 70, 58, 59, 67, 65, 69, 55, 57, 60, 54, 72, 66, 74. Zakładając, że
rozkład pojemności jest normalny, znaleźć przedział ufności dla wariancji
 przyjmując, że poziom ufności jest równy
1 
0
96
.
13. W celu wyznaczenia dokładności wskazań przyrządu pomiarowego do-
konano 5 niezależnych pomiarów. Wyniki tych pomiarów podane są w
tabelce
Numer pomiaru 1 2 3 4 5
x
10.15 10.20 10.04 10.14 10.22
Wyznaczyć przedział ufności dla wariancji, zakładając, że rozkład wyni-
ków pomiarów jest rozkładem normalnym i przyjmując, że poziom ufno-
ści jest równy
1 
0
98
.
14. Producent oświadcza, że średni czas świecenia żarówki wynosi 1000 go-
dzin. Aby zweryfikować hipotezę H ( m =1000), tzn. że średni czas świe-
cenia wynosi 1000 go dz in, pobrano próbkę o liczności n =100 i stwier-
dzono, że w tej próbce 995
x i 36
2 s .
3
10. Dokonano 100
poziom ufności a)
393780582.003.png
Zweryfikować hipotezę H przyjmując poziom istotności 02
 .
0
15. Zużycie energii elektrycznej przez pewien zakład przemysłowy w 10 ko-
lejnych dniach podaje tabelka
Dzień
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Energia
w kWh
104
100
105
110
106
105
102
107
106
105
Zakładając, że zużycie energii ma rozkład normalny, zweryfikować hipo-
tezę H ( 4
2
, b) 05
.
0
16. Zarejestrowane liczby uszkodzonych pojazdów na terenie pewnego mia-
sta w kolejnych dniach były następujące:
Dzień k
1 2 3 4 5 6 7 8
n 16 17 19 16 24 19 17 16
Zweryfikować hipotezę, że rozkład uszkodzeń jest rozkładem jednostaj-
nym, przyjmując poziom istotności 05
 .
0
17. Liczby cząstek – produktów rozpadu radioaktywnego – rejestrowanych
przez licznik Geigera–Müllera w ciągu czasu 5
t sekundy podane są
7
w tabelce
Liczba cząstek rejestrowanych
przez licznik k
Liczba obserwacji (odcinków czasu),
w których zarejestrowano k cząstek
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 lub więcej
57
203
383
525
532
408
273
139
45
27
16
Razem
2608
4
 ), tzn. że wariancja zużycia energii jest równa 4 przyjmując
poziom istotności a) 0
k
393780582.004.png 393780582.005.png
Zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby cząstek rejestrowanych przez
licznik jest rozkładem Poissona, przyjmując poziom istotności 0
 .
18. Automat paczkuje kostki masła o nominalnej wadze 250 g. Zważono 200
kostek i uzyskano następujące wyniki:
Waga Liczba kostek
(248.0–248.4)
(248.4–248.8)
(248.8–249.2)
(249.2–249.6)
(249.6–251.0)
15
45
70
50
20
Zweryfikować hipotezę, że waga kostek ma rozkład normalny, przyjmu-
jąc poziom istotności 05
 .
0
19. Telegraficzne przekazywanie informacji odbywa się metodą nadawania
sygnałów kropka-kreska. Statystyczne właściwości zakłóceń są takie, że
błędy następują przeciętnie w 2/5 przypadków przy nadawaniu sygnału
kropka i w 1/3 przypadków przy nadawaniu sygnału kreska. Wiadomo, że
ogólny stosunek ilości nadawanych sygnałów kropka do sygnałów kreska
jest 5:3. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przy przyjmowaniu sy-
gnału a) kropka b) kreska w rzeczywistości te właśnie sygnały zostały na-
dane.
20. Pociągi elektryczne przyjeżdżają na stację dokładnie co 10 minut. Pasażer
przychodzi na stację w pewnym przypadkowym momencie czasu. Niech
 oznacza czas oczekiwania na przybycie pociągu. Określić rozkład
zmiennej losowej , znaleźć jej gęstość )
f , dystrybuantę )
F , obli-
czyć 8
21. Znaleźć gęstość zmiennej losowej  będącej polem kwadratu, którego
bok jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale (0; a ).
5
( x
( x
P .
{ 
393780582.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin