LAK_-_tematy_projektow_archiwum.pdf

PROJEKT 1

LEM, SEMESTR LETNI 2000

ILUSTRACJA CENTRALNEGO TWIERDZENIA GRANICZNEGO

Celem projektu jest doswiadczalne sprawdzenie prawdziwosci nast epuj acego

fundamentalnego prawa rachunku prawdopodobienstwa ([1], str. 218):

Centralne twierdzenie graniczne.

}b edzie ci agiem wza-

jemnie niezaleznych zmiennych losowych o wspolnym rozkladzie. Zalozmy,

ze µ = E(X k ) oraz › 2 = D 2 (X k ) istniej a, i niech S n

Niech{X k

= X 1 + . . . + X n .

Wtedy dla dowolnego t zachodzi

(

)

S n

−n·µ

›

lim

n!1

< t

= ˆ(t),

gdzie ˆ(t) oznacza dystrybuant e rozkladu normalnego.

Wskazowki realizacyjne:

1. Wykorzystaj funkcj e RAND(M,N) , ktora generuje macierze z elemen-

tami losowymi o rozkladzie jednostajnym na przedziale [0,1].

2. Utworz m = 10000 realizacji zmiennej losowej Y n = (S n

−n·µ)/›

dla n = 10.

3. Wyznacz dystrybuant e zmiennej losowej Y n , licz ac jej wartosci dla ci agu

punktow T=(-3):0.2:3 . Funkcja FIND jest jak stworzona w tym

celu.

4. Porownaj jej wykres z wykresem dystrybuanty rozkladu normalnego,

([1], str. 158).

5. Jesli starczy Ci zapalu, wyznacz funkcj e g estosci prawdopodobienstwa

dla Y n . Czy przypadkiem w twierdzeniu jest mowa o zbieznosci w sensie

dystrybuanty ?

[1] William Feller, Wst ep do rachunku prawdopodobienstwa, PWN, Warszawa

1977.

PROJEKT 2 LEM, SEMESTR LETNI 2000

PROSTE ZMIENNE LOSOWE – ODCINKI PRZYPADKOWE

Celem projektu jest doswiadczalne i numeryczne obliczenie wartosci srednich

prostych zmiennych losowych. Przypominamy, ze funkcja RAND(N,M) gene-

ruje macierze z elementami losowymi o rozkladzie jednostajnym na przedziale

[0,1].

1. Niech x 1 , x 2 bed a dwiema zmiennymi losowymi o rozkladzie jednostaj-

nym w przedziale [-1,1]. Oblicz wartosc sredni a dlugosci utworzonego

przez nie odcinka dla K=100:100:2000 probek.

2. Porownaj na wykresie wynik z dokladnym, obliczonym analitycznie.

Jezeli nie potraﬁsz wykonac obliczenia, wykorzystaj punkt C.

1. Niech x 1 , x 2 , y 1 , y 2 b ed a zmiennymi losowymi takimi, jak w punk-

cie A.1. Oblicz wartosc sredni a dlugosci utworzonego przez punkty o

wspolrz ednych x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) odcinka dla K=100:100:2000

realizacji.

2. Porownaj na wykresie z wartosci a obliczon a przy pomocy calkowania

numerycznego, patrz punkt C.

C. Przyblizone wartosci calek na przedziale (kostce) I = [−1, 1] n , n =

1, 2, ... mozna obliczyc w sposob przyblizony, wykorzystuj ac np. 8–punktow a

kwadratur e Gaussa (analiz e dokladnosci i zakres stosowalnosci znajdziesz w

kazdym podr eczniku metod numerycznych),

f(x) dx =

w i f(˜ i ),

f(x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 =

w i 1 w i 2 f(˜ i 1 , ˜ i 2 ).

−1

i=1

i 1 =1

i 2 =1

Uogolnienie dla n > 2 jest oczywiste. Wspolrz edne ˜ i i wagi w i maj a wartosci:

WI=[0.1012285362,0.2223810344,0.3137066458,0.3626837833,...

0.1012285362,0.2223810344,0.3137066458,0.3626837833];

XI=[0.9602898564,0.7966664774,0.5255324099,0.1834346424,...

-0.9602898564,-0.7966664774,-0.5255324099,-0.1834346424];

PROJEKT 2 LEM, SEMESTR LETNI 2000

PROSTE ZMIENNE LOSOWE – ODCINKI PRZYPADKOWE

Celem projektu jest doswiadczalne i numeryczne obliczenie wartosci srednich

prostych zmiennych losowych. Przypominamy, ze funkcja RAND(N,M) gene-

ruje macierze z elementami losowymi o rozkladzie jednostajnym na przedziale

[0,1].

1. Niech x 1 , x 2 bed a dwiema zmiennymi losowymi o rozkladzie jednostaj-

nym w przedziale [-1,1]. Oblicz wartosc sredni a dlugosci utworzonego

przez nie odcinka dla K=100:100:2000 probek.

2. Porownaj na wykresie wynik z dokladnym, obliczonym analitycznie.

Jezeli nie potraﬁsz wykonac obliczenia, wykorzystaj punkt C.

1. Niech x 1 , x 2 , y 1 , y 2 b ed a zmiennymi losowymi takimi, jak w punk-

cie A.1. Oblicz wartosc sredni a dlugosci utworzonego przez punkty o

wspolrz ednych x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) odcinka dla K=100:100:2000

realizacji.

2. Porownaj na wykresie z wartosci a obliczon a przy pomocy calkowania

numerycznego, patrz punkt C.

C. Przyblizone wartosci calek na przedziale (kostce) I = [−1, 1] n , n =

1, 2, ... mozna obliczyc w sposob przyblizony, wykorzystuj ac np. 8–punktow a

kwadratur e Gaussa (analiz e dokladnosci i zakres stosowalnosci znajdziesz w

kazdym podr eczniku metod numerycznych),

f(x) dx =

w i f(˜ i ),

f(x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 =

w i 1 w i 2 f(˜ i 1 , ˜ i 2 ).

−1

i=1

i 1 =1

i 2 =1

Uogolnienie dla n > 2 jest oczywiste. Wspolrz edne ˜ i i wagi w i maj a wartosci:

WI=[0.1012285362,0.2223810344,0.3137066458,0.3626837833,...

0.1012285362,0.2223810344,0.3137066458,0.3626837833];

XI=[0.9602898564,0.7966664774,0.5255324099,0.1834346424,...

-0.9602898564,-0.7966664774,-0.5255324099,-0.1834346424];

Projekt

LEM, semestr letni 2001

Budowanie plotu

czyli

powloka wypukla zbioru punktow na plaszczyznie

Wyobrazmy sobie l ak e, na ktorej rosnie k epa drzew. Chcemy te drzewa

ogrodzic plotem o najmniejszej dlugosci, przy czym slupkami mog a byc ich

pnie. Intuicyjnie najprostszy sposob post epowania: przywi azujemy sznurek

do drzewa najbardziej wysuni etego na poludnie, a nast epnie owijamy go

dookola k epy, obchodz ac j a w kierunku przeciwnym do ruchu wskazowek

zegara. Po naci agni eciu sznurek wyznacza przebieg plotu i pnie stanowi ace

slupki.

Postawmy teraz zadanie w sposob formalny.

Nalezy napisac program

ktory wykonuje nast epuj ace czynnosci:

Pyta o liczb e punktow n;

Tworzy losowo zbior P zawieraj acy n punktow p i = (x i , y i ), i = 1, . . . , n,

w kwadracie [0, 10]×[0, 10];

Rysuje wielok at stanowi acy powlok e wypukl a tego zbioru oraz podaje

liczb e wierzcholkow tego wielok ata.

Algorytm owijania realizuj acy punkt C mozna zaproponowac w nast epuj acej

postaci.

1. Znajdujemy punkt o najmniejszej wspolrz ednej x, niech ma on numer k.

B edziemy liczyc k at nawijania, wi ec wybieramy kierunek odniesienia,

zadaj ac go przy pomocy wektora jednostkowego τ = (1, 0). Przyjmu-

jemy pocz atkow a wartosc k ata nawini ecia φ = 0.

2. Tworzymy zbior P k = P\{k}={p 1 , .., p k − 1 , p k+1 , .., p n }. Dla wszyst-

kich punktow p i ∈P k

obliczamy k aty α i

pomi edzy wektorami

p i −p k

τ i =

a wektorem τ . Nast epnie znajdujemy najmniejszy z nich, α r .

3. Jesli φ + α r ≥2π + ǫ (gdzie ǫ to mala liczba, np. 10 − 6 ), znaczy to, ze

budowa wielok ata zostala zakonczona juz w poprzednim kroku, koniec

programu.

4. Jesli φ + α r < 2π + ǫ, punkt o numerze r nalezy do wielok ata. Narysuj

teraz odcinek p k p r , podstaw φ := φ + α r , k := r, τ := τ r , a nast epnie

wroc do punktu 2.

Uwagi realizacyjne:

•dla znajdowania najwi ekszego i najmniejszego elementu wektora oraz

jego pozycji zastosuj funkcj e

SORT ,

•kosinusy k atow α i mozna wyliczyc ze wzoru cos α i = τ i ·τ , gdzie kropka

oznacza iloczyn skalarny (tylko gdyτ i =τ= 1),

•aby znalezc najmniejszy k at α i

wystarczy znalezc najwi ekszy cos α i .

Wzorcowa realizacja liczy 28 linii (instrukcji) i w ci agu kilku – kilkunastu

sekund znajduje powloki wypukle dla kilkunastu tysi ecy punktow. Wykonaj

eksperymenty dla n pomi edzy 10 a 100.

Rysunek 1: Przykladowy wynik dzialania programu.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: