rownania_Cramera.pdf

(75 KB) Pobierz
4553007 UNPDF
R ó wnania Cramera
Rozwa»my uk“ad n r ó wna« o n niewiadomych:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ::: + a 1 n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ::: + a 2 n x n = b 2
::::::::::::::::::::::::::::::::::::
a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ::: + a nn x n = b n
:
Z tym uk“adem zwi¡zane s¡ dwie macierze: macierz kwadratowa A wsp ó “czyn-
nik ó w uk“adu i macierz B wyraz ó w wolnych:
0
a 11 a 12 :::a 1 n
a 21 a 22 :::a 2 n
::: ::: ::: :::
a n 1 a n 2 :::a nn
1
0
b 1
b 2
:::
b m
1
A =
B B @
C C A B =
B B @
C C A
oraz n +1wyznacznik ó w, a mianowicie wyznacznik macierzy A zwany wyz-
nacznikiem uk“adu:
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
W =det A =
a 11 a 12 :::a 1 n
a 21 a 22 :::a 2 n
::: ::: ::: :::
a n 1 a n 2 :::a nn
;
i n wyznacznik ó w:
W 1 =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
b 1 a 12 :::a 1 n
b 2 a 22 :::a 2 n
::: ::: ::: :::
b n a n 2 :::a nn
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
;W 2 =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a 11 b 1 :::a 1 n
a 21 b 2 :::a 2 n
::: ::: ::: :::
a n 1 b n :::a nn
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
; :::;
W n =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a 11 a 12 ::: b 1
a 21 a 22 ::: b 2
::: ::: ::: :::
a n 1 a n 2 ::: b n
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
;
kt ó re tworzymy z wyznacznika W w nastƒpuj¡cy spos ó b: je–li j jest kt ó r¡kol-
wiek z liczb1 ; 2 ;:::;n , to zastƒpujemy j -t¡ kolumnƒ kolumn¡ wyraz ó w wolnych.
Twierdzenie 1 Je–li W6 =0, to ten uk“ad ma dok“adnie jedno rozwi¡zanie:
x 1 = W 1
W ;x 2 = W 2
W ;:::;x n = W n
W : (1)
De nicja 1 Wzory(1)nazywamy wzorami Cramera, a uk“ad, kt ó rego wyz-
nacznik jest r ó »ny od zera nazywamy uk“adem Cramera.
1
Przyk“ad 1 Rozwi¡za¢ uk“ad r ó wna«
8
<
5 x +3 y¡z =3
2 x + y¡z =1
3 x¡ 2 y +2 z = ¡ 4
:
:
Niech
0
5 3 ¡ 1
2 1 ¡ 1
3 ¡ 2 2
1
A =
@
A :
Skoro
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
W =
5 3 ¡ 1
2 1 ¡ 1
3 ¡ 2 2
=
5 3 ¡ 1
¡ 3 ¡ 2 0
13 4 0
¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ = ¡ ( ¡ 12+26)= ¡ 14 6 =0 ;
=( ¡ 1)( ¡ 1) 1+3
¡ 3 ¡ 2
13 4
to rozwi¡zujemy uk“ad
8
<
5 x +3 y¡z =3
2 x + y¡z =1
3 x¡ 2 y +2 z = ¡ 4
:
;
kt ó ry ma dok“adnie jedno rozwi¡zanie. Poniewa» W = ¡ 14, wiƒc wyliczymy
W x ;W y ;W z . Zatem
W x =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
3 3 ¡ 1
1 1 ¡ 1
¡ 4 ¡ 2 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
3 0 ¡ 1
1 0 ¡ 1
¡ 42 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=2( ¡ 1) 5
¯ ¯ ¯ ¯
3 ¡ 1
1 ¡ 1
¯ ¯ ¯ ¯ = ¡ 2( ¡ 3+1)=4;
W y =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
5 3 ¡ 1
2 1 ¡ 1
3 ¡ 4 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¡ 1 3 2
0 1 0
11 ¡ 4 ¡ 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=1( ¡ 1) 4
¯ ¯ ¯ ¯
¡ 1 2
11 ¡ 2
¯ ¯ ¯ ¯ =2 ¡ 22= ¡ 20;
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
W z =
5 3 3
2 1 1
3 ¡ 2 ¡ 4
=
¡ 1 3 0
0 1 0
7 ¡ 22
=1( ¡ 1) 4
¯ ¯ ¯ ¯
¡ 1 0
7 ¡ 2
¯ ¯ ¯ ¯ =2 :
St¡d
x = W x
W = 4
¡ 14 = ¡ 2
7 ;
y = W y
W = ¡ 20
¡ 14 = 10
7 ;
z = W z
W = 2
¡ 14 = ¡ 1
7 :
2
4553007.001.png
Przyk“ad 2 Rozwi¡za¢ uk“ad r ó wna«
8
<
3 x +2 y¡ 4 z =5
2 x +3 y¡ 6 z =5
5 x¡y + z =4
:
:
3

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin