liczby-zespolone.pdf

Liczby zespolone

De nicja 1 Liczb¡ zespolon¡ nazywamy parƒ uporz¡dkowan¡ z =( a;b ), gdzie

a;b2 IR. Zbi ó r wszystkich liczb zespolonych bƒdziemy oznacza¢ symbolem C.

Przyk“ad 1 Zaznacz na uk“adzie wsp ó “rzƒdnych liczby zespolone z 1 =(1 ; 2)

i z 2 =( ¡ 1 ; 1).

z 1

z 2

De nicja 2 Dwie liczby zespolone z 1 =( a 1 ;b 1 ), z 2 =( a 2 ;b 2 )nazywamy r ó wnymi,

gdy a 1 = a 2 i b 1 = b 2 .

Przyk“ad 2 Za“ ó »my, »e liczby zespolone z 1 =(1 ; 3+ x )i z 2 =( y¡ 2 ; 4)s¡

r ó wne. Obliczy¢ x i y .

Skoro z 1 = z 2 , to(1 ; 3+ x )=( y¡ 2 ; 4), wiƒc

½ 1= y¡ 2

3+ x =4

St¡d ½ y =3

x =1

De nicja 3 Sum¡ dw ó ch liczb zespolonych z 1 =( a 1 ;b 1 )i z 2 =( a 2 ;b 2 )nazy-

wamy liczbƒ zespolon¡ z = z 1 + z 2 =( a 1 + a 2 ;b 1 + b 2 ), co zapisujemy w postaci

z =( a 1 ;b 1 )+( a 2 ;b 2 )=( a 1 + a 2 ;b 1 + b 2 ) :

De nicja 4 Iloczynem dw ó ch liczb zespolonych z 1 =( a 1 ;b 1 )i z =( a 2 ;b 2 )nazy-

wamy liczbƒ zepolon¡ z = z 1 ¢z 2 =( a 1 a 2 ¡b 1 b 2 ;a 1 b 2 + a 2 b 1 ), co zapisujemy w

postaci

z =( a 1 ;b 1 ) ¢ ( a 2 ;b 2 )=( a 1 a 2 ¡b 1 b 2 ;a 1 b 2 + a 2 b 1 ) :

Przyk“ad 3 Niech z 1 =(1 ; 2)i niech z 2 =(2 ; 3). Wtedy

z 1 + z 2 =(1 ; 2)+(2 ; 3)=(1+2 ; 2+3)=(3 ; 5)

oraz

z 1 z 2 =(1 ; 2) ¢ (2 ; 3)=(1 ¢ 2 ¡ 2 ¢ 3 ; 1 ¢ 3+2 ¢ 2)=( ¡ 4 ; 7) :

Twierdzenie 1 Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne:

8 z 1 ;z 2 2 C z 1 + z 2 = z 2 + z 1 :

Twierdzenie 2 Dodawanie liczb zespolonych jest “¡czne:

8 z 1 ;z 2 ;z 3 2 C ( z 1 + z 2 )+ z 3 = z 1 +( z 2 + z 3 ) :

Twierdzenie 3 Mno»enie liczb zespolonych jest przemienne:

8 z 1 ;z 2 2 C z 1 z 2 = z 2 z 1 :

Twierdzenie 4 Mno»enie liczb zespolonych jest “¡czne:

8 z 1 ;z 2 ;z 3 2 C z 1 ( z 2 z 3 )=( z 1 z 2 ) z 3 :

Przyk“ad 4 Niech z 1 =( a 1 ; 0)i niech z 2 =( a 2 ; 0). Wtedy

z 1 + z 2 =( a 1 + a 2 ; 0) oraz z 1 z 2 =( a 1 a 2 ; 0) :

St¡d wynika, »e liczbƒ zespolon¡ z =( a; 0)mo»emy uto»sami¢ z liczb¡

rzeczywist¡ a , czyli

8 a2 IR z =( a; 0)= a:

De nicja 5 Elementem zerowym nazywamy liczbƒ z =(0 ; 0), a elementem jed-

nostkowym nazywamy liczbƒ zespolon¡(1 ; 0).

Przyk“ad 5 Niech z =( a;b ). Wtedy

z +(0 ; 0)=( a;b )+(0 ; 0)=( a +0 ;b +0)=( a;b )

oraz

z¢ (1 ; 0)=( a;b ) ¢ (1 ; 0)=( a¢ 1 ¡b¢ 0 ;a¢ 0+ b¢ 1)=( a;b ) :

De nicja 6 Liczbƒ zespolon¡ z =(0 ; 1)nazywamy jednostk¡ urojon¡ i oz-

naczamy symbolem i .

Przyk“ad 6 Pomno»ymy liczbƒ i przez siebie. W ó wczas

i 2 =(0 ; 1) ¢ (0 ; 1)=(0 ¡ 1 ; 0)=( ¡ 1 ; 0)= ¡ 1 :

Zatem i 2 = ¡ 1.

Twierdzenie 5 Ka»d¡ liczbƒ zespolon¡ z =( a;b )mo»na przedstawi¢ w postaci

z = a + bi , gdzie a;b2 IR i i jest jednostk¡ urojon¡.

Dow ó d. Niech z =( a;b ). Wtedy

z =( a;b )=( a; 0)+(0 ;b )= a +( b; 0)(0 ; 1)= a + bi:

Zatem z mo»na przedstawi¢ w postaci a + bi , gdzie a;b2 IR oraz i jest jednostk¡

urojn¡.

De nicja 7 Posta¢ z = a + bi nazywamy postaci¡ algebraiczn¡ liczby zespolonej.

Liczbƒ a nazywamy czƒ–ci¡ rzeczywist¡ liczby z i oznaczamy Rez . Liczbƒ b

nazywamy czƒ–ci¡ urojon¡ liczby z i oznaczamy Imz .

Przyk“ad 7 Niech z =2+4 i . Wtedy Rez =2i Imz =4.

Twierdzenie 6 Niech z 1 = a 1 + b 1 i i niech z 2 = a 2 + b 2 i . Wtedy

z 1 + z 2 =( a 1 + a 2 )+( b 1 + b 2 ) i

oraz

z 1 z 2 =( a 1 a 2 ¡b 1 b 2 )+( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i:

Dow ó d. Niech z 1 = a 1 + b 1 i oraz niech z 2 = a 2 + b 2 i . W ó wczas

z 1 + z 2 =( a 1 + b 1 i )+( a 2 + b 2 i )=( a 1 + a 2 )+( b 1 + b 2 i )

z 1 z 2 =( a 1 + b 1 i ) ¢ ( a 2 + b 2 i )= a 1 a 2 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i + b 1 b 2 i 2 :

Poniewa» i 2 =1, wiƒc

z 1 z 2 = a 1 a 2 ¡b 1 b 2 +( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) :

Przyk“ad 8 Obliczy¢ sumƒ i iloczyn liczb z 1 =2+3 i i z 2 = ¡ 1+0 ; 5 i .

oraz

Poniewa» z 1 =2+3 i i z 2 = ¡ 1+0 ; 5 i , wiƒc

z 1 + z 2 =(2+3 i )+( ¡ 1+0 ; 5 i )=2 ¡ 1+(3+0 ; 5) i =1+3 ; 5 i

oraz

z 1 z 2 =(2+3 i ) ¢ ( ¡ 1+0 ; 5 i )=2 ¢ ( ¡ 1)+2 ¢ 0 ; 5 i +3 ¢ ( ¡ 1) i +3 ¢ 0 ; 5 ¢i 2

= ¡ 2+ i¡ 3 i¡ 1 ; 5= ¡ 3 ; 5 ¡ 2 i:

Twierdzenie 7 R ó »nicƒ liczb zespolonych z 1 = a 1 + b 1 i i z 2 = a 2 + b 2 i obliczamy

ze wzoru

z = z 1 ¡z 2 =( a 1 ¡a 2 )+( b 1 ¡b 2 ) i:

Dow ó d. Istotnie, niech z 1 = a 1 + b 1 i oraz z 2 = a 2 + b 2 i . Wtedy

z 1 ¡z 2 =( a 1 + b 1 i ) ¡ ( a 2 + b 2 i )=( a 1 ¡a 2 )+( b 1 ¡b 2 ) i:

Przyk“ad 9 Niech z 1 =2+4 i i z 2 = ¡ 2+5 i . Wtedy

z 1 ¡z 2 =(2 ¡ ( ¡ 2))+(4 ¡ 5) i =4 ¡i:

Twierdzenie 8 Iloraz liczb zespolonych z 1 = a 1 + b 1 i i z 2 = a 2 + b 2 i , gdzie

z 2 6 =0, obliczamy ze wzoru

z = z 1

z 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2

a 2 2 + b 2 2

+ a 2 b 1 ¡a 1 b 2

a 2 2 + b 2 2

a 2 + b 2 i :

Pomno»ymy licznik i mianownik u“amka przez a 2 ¡b 2 i . Wtedy

z 1

z 2

= a 1 + b 1 i

( a 2 + b 2 i )( a 2 ¡b 2 i ) = a 1 a 2 ¡a 1 b 2 i + a 2 b 1 i¡b 1 b 2 i 2

a 2 2 ¡b 2 2 i 2

Skoro i 2 = ¡ 1, to

z 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 +( a 2 b 1 ¡a 1 b 2 ) i

a 2 2 + b 2 2

Zatem

z 1

z 2

= a 1 a 2 + b 1 b 2

a 2 2 + b 2 2

+ a 2 b 1 ¡a 1 b 2

a 2 2 + b 2 2

Dow ó d. Niech z 1 = a 1 + b 1 i oraz niech z 2 = a 2 + b 2 i . Wtedy

z 1

z 2

= ( a 1 + b 1 i )( a 2 ¡b 2 i )

z 1

Przyk“ad 10 Niech z 1 =2+3 i i niech z 2 =1 ¡i . Obliczy¢ z 1 + z 2 , z 1 ¡z 2 ,

z 1 z 2 i z 1 z 2 .

Zatem

z 1 + z 2 =(2+3 i )+(1 ¡i )=3+2 i ;

z 1 ¡z 2 =(2+3 i ) ¡ (1 ¡i )=1+4 i ;

z 1 z 2 =(2+3 i ) ¢ (1 ¡i )=2 ¡ 3 i 2 +3 i¡ 2 i =5+ i ;

z 1

(1 ¡i )(1+ i ) = 2+2 i +3 i +3 i 2

1 ¡i 2 =

1+1 = ¡ 1+5 i

2 = ¡ 1 2 + 5 2 i:

De nicja 8 Niech z = a + bi . Liczb¡ sprzƒ»on¡ do z nazywamy liczbƒ z = a¡bi .

Przyk“ad 11 Niech z =2+4 i . Wtedy z =2 ¡ 4 i .

Twierdzenie 9 Suma i iloczyn liczb sprzƒ»onych jest liczb¡ rzeczywist¡.

Dow ó d. Niech z = a + bi . Wtedy z = a¡bi oraz

z + z =( a + bi )+( a¡bi )=2 a2 IR ;

zz =( a + bi )( a¡bi )= a 2 ¡b 2 i 2 = a 2 + b 2 2 IR :

De nicja 9 Modu“em liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbƒ jzj =

a 2 + b 2 .

Przyk“ad 12 Niech z =2+3 i . Wtedy

jzj =

2 2 +3 2 = p 4+9=

13 :

De nicja 10 Argumentem liczby zespolonej z r ó »nej od0nazywamy ka»d¡

liczbƒ rzeczywist¡ ® , kt ó ra spe“nia warunki

cos ® = a

jzj ; sin ® = b

jzj :

Argument liczby zespolonej z oznaczamy symbolem arg z .

Przyk“ad 13 Wyznaczy¢ modu“ i argument liczby zespolonej z =1+ i .

1 ¡i = (2+3 i )(1+ i )

z 2 = 2+3 i

2+5 i¡ 3

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: