liczby-zespolone.pdf
(
135 KB
)
Pobierz
4553034 UNPDF
Liczby zespolone
De
nicja 1 Liczb¡ zespolon¡ nazywamy parƒ uporz¡dkowan¡
z
=(
a;b
), gdzie
a;b2
IR. Zbi
ó
r wszystkich liczb zespolonych bƒdziemy oznacza¢ symbolem C.
Przyk“ad 1 Zaznacz na uk“adzie wsp
ó
“rzƒdnych liczby zespolone
z
1
=(1
;
2)
i
z
2
=(
¡
1
;
1).
6
z
1
q
z
2
-
De
nicja 2 Dwie liczby zespolone
z
1
=(
a
1
;b
1
),
z
2
=(
a
2
;b
2
)nazywamy r
ó
wnymi,
gdy
a
1
=
a
2
i
b
1
=
b
2
.
Przyk“ad 2 Za“
ó
»my, »e liczby zespolone
z
1
=(1
;
3+
x
)i
z
2
=(
y¡
2
;
4)s¡
r
ó
wne. Obliczy¢
x
i
y
.
Skoro
z
1
=
z
2
, to(1
;
3+
x
)=(
y¡
2
;
4), wiƒc
½
1=
y¡
2
3+
x
=4
St¡d
½
y
=3
x
=1
De
nicja 3 Sum¡ dw
ó
ch liczb zespolonych
z
1
=(
a
1
;b
1
)i
z
2
=(
a
2
;b
2
)nazy-
wamy liczbƒ zespolon¡
z
=
z
1
+
z
2
=(
a
1
+
a
2
;b
1
+
b
2
), co zapisujemy w postaci
z
=(
a
1
;b
1
)+(
a
2
;b
2
)=(
a
1
+
a
2
;b
1
+
b
2
)
:
1
b
q
a
De
nicja 4 Iloczynem dw
ó
ch liczb zespolonych
z
1
=(
a
1
;b
1
)i
z
=(
a
2
;b
2
)nazy-
wamy liczbƒ zepolon¡
z
=
z
1
¢z
2
=(
a
1
a
2
¡b
1
b
2
;a
1
b
2
+
a
2
b
1
), co zapisujemy w
postaci
z
=(
a
1
;b
1
)
¢
(
a
2
;b
2
)=(
a
1
a
2
¡b
1
b
2
;a
1
b
2
+
a
2
b
1
)
:
Przyk“ad 3 Niech
z
1
=(1
;
2)i niech
z
2
=(2
;
3). Wtedy
z
1
+
z
2
=(1
;
2)+(2
;
3)=(1+2
;
2+3)=(3
;
5)
oraz
z
1
z
2
=(1
;
2)
¢
(2
;
3)=(1
¢
2
¡
2
¢
3
;
1
¢
3+2
¢
2)=(
¡
4
;
7)
:
Twierdzenie 1 Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne:
8
z
1
;z
2
2
C
z
1
+
z
2
=
z
2
+
z
1
:
Twierdzenie 2 Dodawanie liczb zespolonych jest “¡czne:
8
z
1
;z
2
;z
3
2
C
(
z
1
+
z
2
)+
z
3
=
z
1
+(
z
2
+
z
3
)
:
Twierdzenie 3 Mno»enie liczb zespolonych jest przemienne:
8
z
1
;z
2
2
C
z
1
z
2
=
z
2
z
1
:
Twierdzenie 4 Mno»enie liczb zespolonych jest “¡czne:
8
z
1
;z
2
;z
3
2
C
z
1
(
z
2
z
3
)=(
z
1
z
2
)
z
3
:
Przyk“ad 4 Niech
z
1
=(
a
1
;
0)i niech
z
2
=(
a
2
;
0). Wtedy
z
1
+
z
2
=(
a
1
+
a
2
;
0) oraz
z
1
z
2
=(
a
1
a
2
;
0)
:
St¡d wynika, »e liczbƒ zespolon¡
z
=(
a;
0)mo»emy uto»sami¢ z liczb¡
rzeczywist¡
a
, czyli
8
a2
IR
z
=(
a;
0)=
a:
De
nicja 5 Elementem zerowym nazywamy liczbƒ
z
=(0
;
0), a elementem jed-
nostkowym nazywamy liczbƒ zespolon¡(1
;
0).
Przyk“ad 5 Niech
z
=(
a;b
). Wtedy
z
+(0
;
0)=(
a;b
)+(0
;
0)=(
a
+0
;b
+0)=(
a;b
)
oraz
z¢
(1
;
0)=(
a;b
)
¢
(1
;
0)=(
a¢
1
¡b¢
0
;a¢
0+
b¢
1)=(
a;b
)
:
2
De
nicja 6 Liczbƒ zespolon¡
z
=(0
;
1)nazywamy jednostk¡ urojon¡ i oz-
naczamy symbolem
i
.
Przyk“ad 6 Pomno»ymy liczbƒ
i
przez siebie. W
ó
wczas
i
2
=(0
;
1)
¢
(0
;
1)=(0
¡
1
;
0)=(
¡
1
;
0)=
¡
1
:
Zatem
i
2
=
¡
1.
Twierdzenie 5 Ka»d¡ liczbƒ zespolon¡
z
=(
a;b
)mo»na przedstawi¢ w postaci
z
=
a
+
bi
, gdzie
a;b2
IR i
i
jest jednostk¡ urojon¡.
Dow
ó
d. Niech
z
=(
a;b
). Wtedy
z
=(
a;b
)=(
a;
0)+(0
;b
)=
a
+(
b;
0)(0
;
1)=
a
+
bi:
Zatem
z
mo»na przedstawi¢ w postaci
a
+
bi
, gdzie
a;b2
IR oraz
i
jest jednostk¡
urojn¡.
De
nicja 7 Posta¢
z
=
a
+
bi
nazywamy postaci¡ algebraiczn¡ liczby zespolonej.
Liczbƒ
a
nazywamy czƒ–ci¡ rzeczywist¡ liczby
z
i oznaczamy
Rez
. Liczbƒ
b
nazywamy czƒ–ci¡ urojon¡ liczby
z
i oznaczamy
Imz
.
Przyk“ad 7 Niech
z
=2+4
i
. Wtedy
Rez
=2i
Imz
=4.
Twierdzenie 6 Niech
z
1
=
a
1
+
b
1
i
i niech
z
2
=
a
2
+
b
2
i
. Wtedy
z
1
+
z
2
=(
a
1
+
a
2
)+(
b
1
+
b
2
)
i
oraz
z
1
z
2
=(
a
1
a
2
¡b
1
b
2
)+(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)
i:
Dow
ó
d. Niech
z
1
=
a
1
+
b
1
i
oraz niech
z
2
=
a
2
+
b
2
i
. W
ó
wczas
z
1
+
z
2
=(
a
1
+
b
1
i
)+(
a
2
+
b
2
i
)=(
a
1
+
a
2
)+(
b
1
+
b
2
i
)
z
1
z
2
=(
a
1
+
b
1
i
)
¢
(
a
2
+
b
2
i
)=
a
1
a
2
+
a
1
b
2
i
+
a
2
b
1
i
+
b
1
b
2
i
2
:
Poniewa»
i
2
=1, wiƒc
z
1
z
2
=
a
1
a
2
¡b
1
b
2
+(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)
:
Przyk“ad 8 Obliczy¢ sumƒ i iloczyn liczb
z
1
=2+3
i
i
z
2
=
¡
1+0
;
5
i
.
3
oraz
Poniewa»
z
1
=2+3
i
i
z
2
=
¡
1+0
;
5
i
, wiƒc
z
1
+
z
2
=(2+3
i
)+(
¡
1+0
;
5
i
)=2
¡
1+(3+0
;
5)
i
=1+3
;
5
i
oraz
z
1
z
2
=(2+3
i
)
¢
(
¡
1+0
;
5
i
)=2
¢
(
¡
1)+2
¢
0
;
5
i
+3
¢
(
¡
1)
i
+3
¢
0
;
5
¢i
2
=
¡
2+
i¡
3
i¡
1
;
5=
¡
3
;
5
¡
2
i:
Twierdzenie 7 R
ó
»nicƒ liczb zespolonych
z
1
=
a
1
+
b
1
i
i
z
2
=
a
2
+
b
2
i
obliczamy
ze wzoru
z
=
z
1
¡z
2
=(
a
1
¡a
2
)+(
b
1
¡b
2
)
i:
Dow
ó
d. Istotnie, niech
z
1
=
a
1
+
b
1
i
oraz
z
2
=
a
2
+
b
2
i
. Wtedy
z
1
¡z
2
=(
a
1
+
b
1
i
)
¡
(
a
2
+
b
2
i
)=(
a
1
¡a
2
)+(
b
1
¡b
2
)
i:
Przyk“ad 9 Niech
z
1
=2+4
i
i
z
2
=
¡
2+5
i
. Wtedy
z
1
¡z
2
=(2
¡
(
¡
2))+(4
¡
5)
i
=4
¡i:
Twierdzenie 8 Iloraz liczb zespolonych
z
1
=
a
1
+
b
1
i
i
z
2
=
a
2
+
b
2
i
, gdzie
z
2
6
=0, obliczamy ze wzoru
z
=
z
1
z
2
=
a
1
a
2
+
b
1
b
2
a
2
2
+
b
2
2
+
a
2
b
1
¡a
1
b
2
a
2
2
+
b
2
2
i:
a
2
+
b
2
i
:
Pomno»ymy licznik i mianownik u“amka przez
a
2
¡b
2
i
. Wtedy
z
1
z
2
=
a
1
+
b
1
i
(
a
2
+
b
2
i
)(
a
2
¡b
2
i
)
=
a
1
a
2
¡a
1
b
2
i
+
a
2
b
1
i¡b
1
b
2
i
2
a
2
2
¡b
2
2
i
2
:
Skoro
i
2
=
¡
1, to
z
2
=
a
1
a
2
+
b
1
b
2
+(
a
2
b
1
¡a
1
b
2
)
i
:
a
2
2
+
b
2
2
Zatem
z
1
z
2
=
a
1
a
2
+
b
1
b
2
a
2
2
+
b
2
2
+
a
2
b
1
¡a
1
b
2
a
2
2
+
b
2
2
i:
4
Dow
ó
d. Niech
z
1
=
a
1
+
b
1
i
oraz niech
z
2
=
a
2
+
b
2
i
. Wtedy
z
1
z
2
=
(
a
1
+
b
1
i
)(
a
2
¡b
2
i
)
z
1
Przyk“ad 10 Niech
z
1
=2+3
i
i niech
z
2
=1
¡i
. Obliczy¢
z
1
+
z
2
,
z
1
¡z
2
,
z
1
z
2
i
z
1
z
2
.
Zatem
z
1
+
z
2
=(2+3
i
)+(1
¡i
)=3+2
i
;
z
1
¡z
2
=(2+3
i
)
¡
(1
¡i
)=1+4
i
;
z
1
z
2
=(2+3
i
)
¢
(1
¡i
)=2
¡
3
i
2
+3
i¡
2
i
=5+
i
;
z
1
(1
¡i
)(1+
i
)
=
2+2
i
+3
i
+3
i
2
1
¡i
2
=
1+1
=
¡
1+5
i
2
=
¡
1
2
+
5
2
i:
De
nicja 8 Niech
z
=
a
+
bi
. Liczb¡ sprzƒ»on¡ do
z
nazywamy liczbƒ
z
=
a¡bi
.
Przyk“ad 11 Niech
z
=2+4
i
. Wtedy
z
=2
¡
4
i
.
Twierdzenie 9 Suma i iloczyn liczb sprzƒ»onych jest liczb¡ rzeczywist¡.
Dow
ó
d. Niech
z
=
a
+
bi
. Wtedy
z
=
a¡bi
oraz
z
+
z
=(
a
+
bi
)+(
a¡bi
)=2
a2
IR
;
zz
=(
a
+
bi
)(
a¡bi
)=
a
2
¡b
2
i
2
=
a
2
+
b
2
2
IR
:
De
nicja 9 Modu“em liczby zespolonej
z
=
a
+
bi
nazywamy liczbƒ
jzj
=
p
a
2
+
b
2
.
Przyk“ad 12 Niech
z
=2+3
i
. Wtedy
jzj
=
p
2
2
+3
2
=
p
4+9=
p
13
:
De
nicja 10 Argumentem liczby zespolonej
z
r
ó
»nej od0nazywamy ka»d¡
liczbƒ rzeczywist¡
®
, kt
ó
ra spe“nia warunki
cos
®
=
a
jzj
;
sin
®
=
b
jzj
:
Argument liczby zespolonej
z
oznaczamy symbolem arg
z
.
Przyk“ad 13 Wyznaczy¢ modu“ i argument liczby zespolonej
z
=1+
i
.
5
1
¡i
=
(2+3
i
)(1+
i
)
z
2
=
2+3
i
2+5
i¡
3
Plik z chomika:
Sentenza
Inne pliki z tego folderu:
Derive.rar
(7427 KB)
liczby-zespolone.pdf
(135 KB)
grafy_wykład.pdf
(103 KB)
wyznaczniki.pdf
(90 KB)
wielomiany_zaoczne.pdf
(111 KB)
Inne foldery tego chomika:
analiza matematyczna
Architektura systemów komputerowych
język angielski
makroekonomia
mikroekonomia
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin