\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage{polski} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \title{Wyrażenia Matematyczne} \author{ja} \begin{document} \section{Zadanie} Całka Riemanna – konstrukcja analizy matematycznej przedstawiona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna w 1854 roku w jego pracy habilitacyjnej na Uniwersytecie w Getyndze pt. Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe („O reprezentowalności funkcji przez szereg trygonometryczny”) jako pierwsza ścisła definicja całki. \\ Istnieje również całkowicie równoważna całce Riemanna konstrukcja całki Darboux, pochodząca od francuskiego matematyka Gastona Darboux, który wprowadził ją w swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre („O równaniach różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu”) i uzasadnił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w pracy pt. Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues („Rozprawa o teorii funkcji nieciągłych”). \\ Głównymi zaletami całki Riemanna są intuicyjność, klarowność definicji i stosunkowa łatwość wprowadzenia wystarczające częstokroć do większości zastosowań praktycznych; konstrukcja Darboux wymaga nieco mniejszej liczby pojęć niezbędnych do jej przeprowadzenia, przez co stanowi atrakcyjną alternatywę dla konstrukcji Riemanna. Do zasadniczych wad tych całek należy względnie mała ilość funkcji całkowalnych, czy konieczność zbieżności jednostajnej ciągu funkcji przy zamianie operatorów granicy i całki[1], co znacząco zawęża zakres zastosowań teoretycznych. Istnieje wiele uogólnień tego pojęcia mających na celu pokonanie różnorakich jego ograniczeń. \section{Zadanie} \begin{equation} m_f(b-a)\leq \int\limits_a^b f(x) \ dx \leq M_f(b-a), \end{equation} \begin{equation} 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \end{equation} \begin{equation} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots +a_{1m}x_m=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots +a_{2m}x_m=b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\ldots +a_{nm}x_m=b_n \end{cases} \end{equation} \begin{equation} A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ a_{31} & a_{32} & \ldots & a_{3m} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \end{bmatrix} \end{equation} \section{Zadanie} \begin{center} \begin{tabular}{|p{3cm}|p{2cm}|c|c|c|c|c|} \hline & wiekość próby & 10\% zarabia poniżej & 25\% zarabia poniżej & mediana (PLN) & 25\% zarabia powyżej & 10\% zarabia powyżej \\\hline mikro przedsiebiorstwo (1-9) & 256 & 1100 & 1500 & 2200 & 3450 & 6200 \\\hline małe przedsiębiorstwo (10-19) & 656 & 1300 & 1800 & 2600 & 4100 & 7000 \\\hline średnie przedsiębiorstwo(50-249) & 1070 & 1500 & 2000 & 2855 & 4400 & 6900 \\\hline duże przedsiębiorstwo (250-999) & 716 & 1760 & 2200 & 3100 & 4800 & 9000 \\\hline duże przedsiębiorstwo (1000) & 694 & 1800 & 2340 & 3332 & 5100 & 8000 \\\hline \end{tabular} \centering {\textsl{Żródło: Internetowe Badanie Wynagrodzeń 2007 pzeprowadzone przez Sedlak & Sedlak}} \end{center} \section{Zadanie} \begin{figure}[h] \includegraphics[width=300pt]{picture.jpg} \caption{Przykładowy rysunek} \end{figure} \end{document}
RezidentRnR