1. LICZBY ZESPOLONE

1.1 PODSTAWOWE DEFINICJE I WŁASNOŚCI

Def. 1.1.1 (liczba zespolona, płaszczyzna zespolona)

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych np. (x,y), (u,v), (a,b). Liczby zespolone oznaczamy krótko przez z, w itp. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczmy przez C. Mamy zatem

.

Uwaga. Liczbę zespoloną z = (x,y) przedstawiamy na płaszczyźnie w postaci punktu o współrzędnych (x,y) lub w postaci wektora o początku w punkcie (0,0) i końcu w punkcie (x,y). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną zespoloną.

Def. 1.1.2 (równość, suma i iloczyn liczb zespolonych)

Niech , będą liczbami zespolonymi.

1. Równość liczb zespolonych określamy przez warunek:

.

2. Sumę liczb zespolonych określamy wzorem:

.

3. Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem:

.

Fakt 1.1.3 (własności działań w zbiorze liczb zespolonych)

Niech z1, z2, z3 będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy

1. dodawanie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.

2. dodawanie liczb zespolonych jest łączne, tzn.

3. dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona spełnia równość

4. dla każdej liczby zespolonej liczba spełnia równość

5. mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.

6. mnożenie liczb zespolonych jest łączne, tzn.

7. dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona spełnia równość

8. dla każdej liczby zespolonej liczba zespolona

spełnia równość

9. mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.

.

Uwaga. Liczby zespolone 0, –z, 1 oraz wprowadzone odpowiednio w punktach 3, 4, 7 oraz 8 powyższego faktu są jedynymi liczbami o żądanych w tych punktach własnościach. Liczby te nazywamy odpowiednio: elementem neutralnym dodawania, elementem przeciwnym liczby z, elementem neutralnym mnożenia oraz elementem odwrotnym do liczby z.

Def. 1.1.4 (odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych)

Niech z1, z2 Î C będą dowolnymi liczbami zespolonymi.

1. odejmowanie liczb zespolonych określamy wzorem:

2. dzielenie liczb zespolonych określamy wzorem:

, o ile z2 ¹ 0.

Uwaga. Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) znane z liczb rzeczywistych obowiązują także w zbiorze liczb zespolonych. W szczególności prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzory na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego itd.

Fakt 1.1.5 (zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych)

Podzbiór R zbioru liczb zespolonych C złożony z liczb postaci (x,0), gdzie x Î R, ma następujące własności:

1.       ,

2.       ,

3.       ,

4.       , gdzie x2 ¹ 0.

Uwaga. Z własności tych wynika, zbiór R można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych R. Będziemy pisali x zamiast (x,0); w szczególności 0 = (0,0) oraz 1 = (1,0).

1.2 POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ

Def. 1.2.1 (jednostka urojona)

Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i;

.

Fakt 1.2.2 (postać algebraiczna liczby zespolonej)

Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci:

,

gdzie .

Uwaga. Ten sposób przedstawienia liczb zespolonych nazywamy ich postacią algebraiczną. Nie każde przedstawienie liczby zespolonej w postaci x + iy jest jej postacią algebraiczną. Niezbędne jest dodanie warunku x, y Î R.

Def. 1.2.3 (część rzeczywista i urojona liczby zespolonej)

Niech x + iy będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej z. Wówczas

1. liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, co zapisujemy

,

2. liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, co zapisujemy

.

Liczbę zespoloną postaci iy, gdzie y Î R \ {0}, nazywamy liczbą czysto urojoną.

Uwaga. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak, jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej i, przy warunku . Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną x + iy, gdzie x, y Î R, należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę x – iy, aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.

Fakt 1.2.4 (o równości liczb zespolonych w postaci algebraicznej)

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, tzn.

.

1.3 SPRZĘŻENIE I MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ

Def. 1.3.1 (sprzężenie liczby zespolonej)

Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y Î R, nazywamy liczbę zespoloną określoną wzorem:

.

Liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii osiowej względem osi Rez.

Fakt 1.3.2 (własności sprzężenia liczb zespolonych)

Niech z, z1, z2 Î C. Wtedy

Uwaga. Równości podane w punktach 1 i 3 prawdziwe są odpowiednio dla dowolnej liczby składników i czynników.

Def. 1.3.3 (moduł liczby zespolonej)

Modułem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y Î R, nazywamy liczbę rzeczywistą |z| określoną wzorem:

.

Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Geometrycznie moduł liczby zespolonej z jest odległością punktu z od początku układu współrzędnych.

Uwaga. Moduł różnicy liczb zespolonych z1, z2 jest długością odcinka łączącego punkty z1, z2 płaszczyzny zespolonej.

Fakt 1.3.4 (własności modułu liczby zespolonej)

Niech z, z1, z2 Î C. Wtedy

Uwaga. Warunki podane w punktach 2 i 4 powyższego faktu prawdziwe są także dla dowolnej liczby odpowiednio czynników i składników. Przy obliczaniu ilorazu liczb zespolonych w i z ¹ 0 wygodnie jest stosować tożsamość:

.

1.4 POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ

Def. 1.4.1 (argument i argument główny liczby zespolonej)

Argumentem liczby zespolonej z = x + iy ¹ 0, gdzie x, y Î R, nazywamy każdą liczbę j Î R spełniającą układ równań:

.

Przyjmujemy, że argumentem liczby ...