skrypt algebra.pdf

(453 KB) Pobierz
705282321 UNPDF
Geometria i Algebra Liniowa
(dla I-go roku informatyki WMIM UW)
LeszekPlaskota
InstytutMatematykiStosowanejiMechaniki
UniwersytetWarszawski
styczen 2009
ii
Spis tresci
1 Grupy i ciala, liczby zespolone 3
1.1 Podstawowe struktury algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Cialo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Cialo liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Denicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Postac trygonometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Wzor de Moivre'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Pierwiastki z jedynki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Sprz ezenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Algorytm Hornera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Zasadnicze twierdzenie algebry . . . . . . . . . . . . . 10
2 Macierze liczbowe 13
2.1 Podstawowe denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Macierze szczegolnych formatow . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Podzial blokowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Dzialania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Podstawowe dzialania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Mnozenie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Mnozenie macierzy w postaci blokowej . . . . . . . . . 17
2.3 Dalsze oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Macierze trojk atne i jednostkowe . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Uklad rownan jako rownanie macierzowe . . . . . . . . 19
2.4 Macierze nieosobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Grupa macierzy nieosobliwych . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Warunek nieosobliwosci macierzy . . . . . . . . . . . . 21
iii
iv
SPIS TRESCI
2.4.3 Permutacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Normy wektorow i macierzy 25
3.1 Ogolna denicja normy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Normy wektorow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Normy p-te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Pozyteczne (nie)rownosci . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Normy macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.1 Normy p-te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 Pozyteczne (nie)rownosci . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.3 Norma Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Przestrzenie liniowe 35
4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Denicja i podstawowe wlasnosci . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Podprzestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Baza i wymiar przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Liniowa (nie)zaleznosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Baza i wymiar, twierdzenie Steinitza . . . . . . . . . . 39
4.2.3 Przyklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Sumy i sumy proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1 Suma (prosta) dwoch podprzestrzeni . . . . . . . . . . 41
4.3.2 Suma (prosta) w ogolnym przypadku . . . . . . . . . . 43
4.4 Izomorzm przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Warstwy modulo Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.1 Denicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.2 Przestrzen warstw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Obraz, rz ad i j adro macierzy 49
5.1 Obraz i rz ad macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.1 Rz ad kolumnowy i rz ad wierszowy . . . . . . . . . . . . 49
5.1.2 Rz ad macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Przestrzen zerowa (j adro) macierzy . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Rozklad wzgl edem obrazu i j adra . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Funkcjonaly liniowe 55
6.1 Funkcjonaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.1 Denicja i przyklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
SPIS TRESCI
v
6.1.2 Przestrzen sprz ezona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Reeksywnosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 Rownosc X i X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2 Przyklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Rozszerzenie rachunku macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3.1 Macierze wektorow i funkcjonalow . . . . . . . . . . . . 59
6.3.2 Postac macierzowa izomorzmow . . . . . . . . . . . . 60
7 Uklady rownan liniowych 63
7.1 Zbior rozwi azan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1.1 Twierdzenie Kroneckera-Capelliego . . . . . . . . . . . 63
7.1.2 Zbior rozwi azan jako warstwa . . . . . . . . . . . . . . 64
7.1.3 Uklady nieosobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Efektywna metoda rozwi azania . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2.1 Ogolny schemat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.2 Eliminacja Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.3 Konstrukcja rozwi azania ogolnego . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Interpretacja macierzowa eliminacji . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3.1 Analiza operacji elementarnych . . . . . . . . . . . . . 69
7.3.2 Rozklad trojk atno-trojk atny macierzy . . . . . . . . . . 71
7.4 Eliminacja bez przestawien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8 Przeksztalcenia liniowe 75
8.1 Podstawowe poj ecia i wlasnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.1.1 Obraz, j adro i rz ad przeksztalcenia . . . . . . . . . . . 75
8.1.2 Przyklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1.3 Roznowartosciowosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1.4 Przestrzen przeksztalcen liniowych . . . . . . . . . . . 78
8.2 Macierz przeksztalcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2.1 Denicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2.2 Izomorzm Lin(X;Y) i K m;n . . . . . . . . . . . . . . 79
8.3 Dalsze wlasnosci macierzy przeksztalcen . . . . . . . . . . . . 80
8.3.1 Obraz i j adro przeksztalcenia/macierzy . . . . . . . . . 80
8.3.2 Zmiana bazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3.3 Zlozenie przeksztalcen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin