Głowacki P - Analiza matematyczna B.pdf

(683 KB) Pobierz
4753138 UNPDF
AnalizaB
Pawe“G“owacki
1.INDUKCJAmatematycznainier ó wno–ci
liczbyrzeczywistejuwa»a¢bƒdziemyzaintuicyjnieoczywiste.Tymniem-
niejcelowewydajesiƒprzypomnienieiugruntowanieniekt ó rychfundamentalnych
w“asno–ciliczbrzeczywistych.
Wzbiorzeliczbrzeczywistych,kt ó rybƒdziemyoznacza¢przezR,naszczeg ó ln¡
uwagƒzas“uguj¡liczbywymierne,czyliliczbypostaci p q ,gdziepiqs¡liczbami
ca“kowitymiiq6=0.Bƒdziemyu»ywa¢oznacze«N,ZiQodpowiednionazbiory
liczbnaturalnych,ca“kowitychiwymiernych.
Geometryczniewyobra»amysobieliczbyrzeczywistejakoo–liczbow¡,kt ó rej
punktempocz¡tkowymjest0.DlategoRczƒstonazywamyprost¡rzeczywist¡.
ZalgebraicznegopunktuwidzeniaRstanowicia“o,bookre–lones¡wnimdwa
dzia“ania
1
(x,y)!x+y,(x,y)!x·y,
zwaneodpowiedniododawaniemimno»eniem,onastƒpuj¡cychw“asno–ciach.Do-
dawaniejest“¡czneiprzemienne,aelementemneutralnymjestliczba0.Ponadto,
ka»dyelementx2Rposiadaelementprzeciwny.Mno»eniejest“¡czneiprzemi-
enne,aelementemneutralnymjestjedno–¢.R ó »neodzeraelementyRposiadaj¡
elementodwrotny.Wreszciemno»eniejestrozdzielnewzglƒdemdodawania.
Š atwozauwa»y¢,»ewszystkiepowy»szew“asno–ciposiadaj¡tak»eliczbywy-
mierne.ZatemiQjestcia“em.Nies¡natomiastcia“amianiZ,aniN.
Zbi ó rliczbrzeczywistychjestliniowouporz¡dkowany.Oznaczato,»eistniejew
nimrelacjaporz¡dku,taka»edladowolnychx,y2Rjestxylubyx.
Zbi ó rliczbwymiernychjestzbioremprzeliczalnym,czylir ó wnolicznymzezbio-
remliczbnaturalnych.PonadtojestgƒstympodzbioremR.Rozumiemyprzezto,
»edladlaka»dychrzeczywistychx<y,istniejeliczbawymiernaw,taka»e
x<w<y.
Innymis“owy,ka»dyotwartyprzedzia“prostejrzeczywistejzawieraprzynajmniej
jedn¡liczbƒwymiern¡.Oczywi–ciest¡dnatychmiastwynika,»ejestichwistocie
wka»dymprzedzialeniesko«czeniewiele.
Cia“oliczbrzeczywistychposiadaistotn¡w“asno–¢,kt ó rejniemacia“oliczb
wymiernych.Ot ó »w–r ó dliczbograniczaj¡cychdanyniepustyzbi ó rERodg ó ry
SerdeczniedziƒkujƒPaniAgnieszceKazunzatrudw“o»onywprzepisanieiredakcjƒznacznej
czƒ–cininiejszegoskryptu
Pojƒcie
1
 
2 AnalizaB
(oiletakieistniej¡)jestzawszeliczbanajmniejsza.Nazywasiƒj¡kresemg ó rnym
zbioruE,awypowiedzian¡w“asno–¢{w“asno–ci¡kresulubaksjomatemci¡g“o–ci.
Bƒdziemyotymm ó wi¢bardziejszczeg ó “owowrozdziale2.
Przystƒpujemyobecniedow“a–ciwegowyk“adu.Najpierwom ó wimyzasadƒin-
dukcjimatematycznej.Indukcjamatematycznajestmetod¡dowodzeniaw“asno–ci
liczbnaturalnych.
De nicja.NiechT(n)orzekapewn¡w“asno–¢liczbynaturalnejn.Zasadain-
dukcjimatematycznejm ó wi,»eje–li
9n 0 2N:T(n 0 ),
oraz
8nn 0 :T(n))T(n+1),
toprawdziwejesttwierdzenie
8nn 0 :T(n).
Takwiƒcdow ó dindukcyjnyprzebiegawdw ó chetapach.Pierwszypolegana
sprawdzeniuwarunkupocz¡tkowego,druginazwiemykrokiemindukcyjnym.Zilus-
trujmyterazzasadƒindukcjimatematycznej.
1.1.Twierdzenie(nier ó wno–¢Bernoulliego).Dlaka»egon1ika»degox−1
zachodzinier ó wno–¢
(1+x) n 1+nx.
Dow ó d.(i)Sprawdzamywarunekpocz¡tkowydlan 0 =1:
(1+x)1+x.
(ii)Za“ ó »my,»enier ó wno–¢(1+x) n 1+nxjestprawdziwadlapewnegon1.
Chcemypokaza¢,»ewtedyprawdziwajestr ó wnie»nier ó wno–¢
(1+x) n+1 1+(n+1)x.
Istotnie,mno»¡cobiestronyT(n)przeznieujemnewyra»enie(1+x),otrzymujemy
(1+x) n+1 =(1+x) n (1+x)(1+nx)(1+x)
=1+(n+1)x+nx 2 1+(n+1)x.
Tymsamymdow ó dzosta“zako«czony.tu
‘ redni¡artymetyczn¡liczba 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n 2Rnazywamywyra»enie
A= a 1 +a 2 +a 3 +...+a n
a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 +...+ 1 a n
.
n ;
–redni¡geometryczn¡liczba 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n 0nazywamywyra»enie
G= n p a 1 a 2 a 3 ...a n ;
–redni¡harmoniczn¡liczba 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n >0nazywamywyra»enie
H= n
1
4753138.001.png
1.INDUKCJAmatematycznainier ó wno–ci 3
Um ó wmysiƒ,»eprzez
A=A(x 1 ,x 2 ,...,x n ),G=G(x 1 ,x 2 ,...,x n ),H=H(x 1 ,x 2 ,...,x n )
bedziemyoznacza¢odpowiednio–redni¡arytmetyczna,geometryczn¡iharmoni-
czn¡liczbx 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n .
Nastƒpuj¡cylematwykorzystamywdowodziekolejnegotwierdzenia.
1.2.Lemat.Niechbƒd¡daneliczbya 1 ,a 2 ,...,a n 0takie,»ea 1 <A<a n ,gdzie
A=A(a 1 ,a 2 ,...,a n ).Wtedy
G(a 1 ,a 2 ,...,a n )<G(A,a 2 ,a 3 ,...,a n−1 ,(a 1 +a n −A)).
Dow ó d.Trzebaudowodni¢nier ó wno–¢
(a 1 a 2 ...a n ) 1 n <(Aa 2 a 3 ...a n−1 (a 1 +a n −A)) 1 n .
Podnosz¡cobiestronydopotƒgin,anastƒpniedziel¡cjeprzezdodatni¡liczbƒ
a 2 a 3 ...a n−1 ,otrzymujemynier ó wno–¢r ó wnowa»n¡
a 1 a n <A(a 1 +a n −A),
wiƒcwystarczypokaza¢,»e
A 2 −A(a 1 +a n )+a 1 a n <0.
Wtymcelurozwa»myfunkcjƒkwadratow¡
f(x)=x 2 −x(a 1 +a n )+a 1 a n .
Wyr ó »nikr ó wnaniaf(x)=0wynosi
=(a 1 +a n ) 2 −4a 1 a n =(a 1 −a n ) 2 ,
zatem p
1.3.Twierdzenie.Je–lia 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n 0,to–redniaarytmetycznatychliczb
jestniemniejszaodich–redniejgeometrycznej,czyli
(a 1 a 2 a 3 ...a n ) 1 n a 1 +a 2 +a 3 +...+a n
Dow ó d.Je–lia 1 =a 2 =a 3 =...=a n ,tooczywi–ciezachodzir ó wno–¢–rednich
arymetycznejigeometrycznejtychliczb.Trzebazatempokaza¢,»eje–liconajm-
niejdwiespo–r ó dwszystkichliczba k ,k=1,2,...,n,s¡r ó »ne,tozachodziostra
nier ó wno–¢
G(a 1 ,...,a n )<A(a 1 ,...,a n ).
=|a 1 −a n |=a n −a 1 ,
boa 1 <a n ,ast¡ddostajemy,»epierwiastkamifunkcjifs¡liczbya 1 ia n .Poniewa»
wykresemfunkcjifjestparabolaskierowanaramionamidog ó ryia 1 <A<a n ,
wiƒcf(A)<0,coko«czydow ó dlematu.tu
n ,
przyczymr ó wno–¢zachodzi,wtedyitylkowtedygdy
a 1 =a 2 =a 3 =...=a n .
 
4 AnalizaB
Zauwa»my,»eje–lia k =0dlapewnegok2{1,2,...,n},to–redniageometryczna
jestr ó wnazeroioczywi–ciejestwtedyistotniemniejszaod–redniejarytmetycznej
tychliczb.W ó wczasbowiem–redniaarytmetycznajestdodatnia,gdy»niewszystkie
wyrazya k mog¡by¢zerami.Przyjmijmywiƒc,»ewszystkieliczbya k s¡dadatnie.
Dowodzimynaszejnier ó wno–ciprzezindukcjƒzewzglƒd u na n.
p
bwiƒc
p
( p a−
b) 2 >0,
sk¡d
a+b>2 p a
p
b,
czyli
p
ab< a+b
2 .
(ii)Krokindukcyjny.Za“ ó »my,»enaszatezajestprawdziwadlaka»dychn2
liczbdodatnich.Chcemywywnioskowa¢jejprawdziwo–¢dladowolnychn+1liczb
dodatnich,czyliwz ó r
n+1 (a 1 +a 2 +...a n+1 )
dlaa 1 ,a 2 ,...,a n+1 >0,gdzieprzynajmniejdwieznichs¡r ó »ne.NiechAoz-
nacza–redni¡arytmetyczn¡liczba 1 ,a 2 ,...,a n+1 .Zmieniaj¡cewentualnienumer-
acjƒ,mo»emyprzyj¡¢,»ea 1 <A<a n+1 .Zde niujmynowyci¡gn+1liczbw
nastƒpuj¡cyspos ó b:
(a 1 a 2 ...a n+1 ) 1
n+1 < 1
8
<
A dlak=1;
a k dla1<kn;
a 1 +a n+1 −Adlak=n.
b k =
:
Oczywi–ciewtedy
A(b 1 ,b 2 ,...,b n+1 )=A
oraznamocyLematu1.2
G(a 1 ,a 2 ,...,a n+1 )<G(b 1 ,b 2 ,...,b n+1 ).
Wystarczywiƒcpokaza¢,»eG(b 1 ,b 2 ,...,b n+1 )A.Mamy
A=A(b 1 ,b 2 ,...,b n+1 )= 1
n+1 (b 1 +b 2 +...+b n+1 )
= 1
n+1 (A+b 2 +...+b n+1 ),
czyli
1− 1
n+1
A= 1
n+1 (b 2 +...+b n+1 ),
ast¡d(popomno»eniuobustronprzez n+1
n )
n (b 2 +...+b n+1 ).
Korzystaj¡czza“o»eniaindukcyjnego,dostajemy,»e
A>(b 2 b 3 ...b n+1 ) 1 n ,
A= 1
(i)Warunekpocz¡tkowy.Je–lia,b>0s¡r ó »ne,to p a6=
4753138.002.png
1.INDUKCJAmatematycznainier ó wno–ci 5
sk¡d
A n+1 =b 1 A n >b 1 b 2 ...b n+1 ,
czyli
A>G(b 1 ,b 2 ,...,b n+1 ).
Tymsamymdow ó dzosta“zako«czony.tu
1.4.Twierdzenie(nier ó wno–¢Bernoulliego).Dlaliczbywymiernej1idowol-
negox−1zachodzinastƒpuj¡canier ó wno–¢
(1+x) 1+x.
Dow ó d.Poniewa»dla=1nier ó wno–¢jestoczywi–ciespe“niona,za“ ó »my,»e
= p q ,gdziep>qorazp,q2N.Naszanier ó wno–¢przyjmujezatemposta¢
q x.
Bezstratyog ó lno–cimo»emyprzyj¡¢,»e1+ p q x0,bowprzeciwnymwypadku
nier ó wno–¢niewymagauzasadnienia.Podnosz¡cobiestronydopotƒgi q p ,dosta-
jemynier ó wno–¢
(1+x)
q 1+ p
q x q i 1 p
ijejwystarczydowie–¢.Rozpatrzmyci¡gpdodatnichliczb,zkt ó rychqjestr ó wnych
1+ p q x,apozosta“ep−qtojedynki. ‘ redniaarytmetycznatychliczbwynosi
q·(1+ p q x)+(p−q)·1
(1+x) h 1+ p
p = q+px+p−q
p = p(x+1)
p =x+1,
q x q i 1 p .
Oznaczato,»enaszanier ó wno–¢sprowadzasiƒdonier ó wno–cipomiƒdzy–redni¡
arytmetyczn¡ageometryczn¡tychpliczb,coko«czydow ó d.tu
q x q
1 p−q i 1 p = h 1+ p
1.5.Wniosek.Niechliczby<1<bƒd¡wymierne.W ó wczasdladowolnych
x,y>0zachodz¡nier ó wno–ci
(1+x) <1+x , (1+y) >1+y .
Dow ó d.Podstawiaj¡cy=x i=1/,“atwosiƒprzekonujemy,»enier ó wno–ci
tes¡r ó wnowa»ne.Wystarczyzatemdowie–¢tylkodrugiejznich.
Przyjmijmynajpierw,»eyy .Wtedynamocynier ó wno–ciBernoulliego
(1+y) >1+y1+y ,
takjakchcieli–my.
p
aich–redniageometryczna
h 1+ p

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin