Frączek K - Analiza Matematyczna I.pdf - Matematyka. Analiza - heroinka94

UniwersytetMikołajaKopernikawToruniu

WydziałMatematykiiInformatyki

KrzysztofFr¡czek

AnalizaMatematycznaI

WykładdlastudentówIroku

kierunkuinformatyka

Toru«2006

Spistre±ci

1Liczbyrzeczywiste 1

2Ci¡giliczbowe 9

3Szeregiliczbowe 25

3.1Szeregiowyrazachnieujemnych.................27

4Dowolneszeregirzeczywistec.d. 32

4.1Iloczynszeregów.........................36

5Granicafunkcji 38

6Ci¡gło±¢funkcji 43

7Pochodnafunkcji 48

7.1WzórTaylora...........................60

7.2Przybli»onerozwi¡zywanierówna«...............68

8Całkanieoznaczona 69

8.1Całkowaniefunkcjiwymiernych.................73

8.2Całkowaniepewnychfunkcjiniewymiernych..........74

9CałkaRiemanna 76

9.1ZastosowaniageometrycznecałkiRiemanna..........86

9.2Całkiniewła±ciwe.........................90

10Ci¡giiszeregifunkcyjne 94

10.1Szeregifunkcyjne.........................97

10.2Ró»niczkowanieci¡gówiszeregówfunkcyjnych.........100

10.3Całkowanieci¡gówiszeregówfunkcyjnych...........103

11Przybli»onemetodycałkowania 106

1LICZBYRZECZYWISTE 1

1Liczbyrzeczywiste

Rozwa»mynast¦puj¡c¡sytuacj¦:niech( X, + , · , ¬ ),gdzie X jestzbioremco

najmniejdwuelementowym,+ , · : X × X ! X oraz ¬ X × X jestrelacj¡,

któr¡dlauproszczeniab¦dziemyzapisywa¢nast¦puj¡co: x ¬ y , ( x,y ) 2¬ .

Ponadto,spełniones¡nast¦puj¡ceaksjomatyliczbrzeczywistych:

1.Aksjomatyciałaprzemiennego:

(a) 8 x,y,z 2 X x +( y + z )=( x + y )+ z –ł¡czno±¢;

(b) 8 x,y 2 X x + y = y + x –przemienno±¢;

(d) 8 x 2 X 9 e x 2 X x + e x =0–elementprzeciwny;

(e) 8 x,y,z 2 X x · ( y · z )=( x · y ) · z –ł¡czno±¢;

(f) 8 x,y 2 X x · y = y · x –przemienno±¢;

(g) 9 1 2 X, 1 6 =0 8 x 2 X 1 · x = x · 1= x –elementneutralnymno»enia;

(h) 8 x 2 X,x 6 =0 9 b x 2 X x · b x =0–elementodwrotny;

(i) 8 x,y,z 2 X x · ( y + z )= x · y + x · z –rozdzielno±¢mno»eniawzgl¦dem

dodawania.

2.Aksjomatyporz¡dkuliniowego:

(a) 8 x 2 X x ¬ x –zwrotno±¢;

(b) 8 x,y,z 2 X x ¬ y ^ y ¬ z = ) x ¬ z –przechodnio±¢;

(d) 8 x,y 2 X x ¬ y ^ y ¬ x = ) x = y –antysymetria.

3.Aksjomatydotycz¡cezarównodziała«irelacjiporz¡dku:

(a) 8 x,y,z 2 X x ¬ y = ) x + z ¬ y + z ;

(b) 8 x,y 2 X 0 ¬ x ^ 0 ¬ y = ) 0 ¬ x · y .

4.Aksjomatci¡gło±ci:dladowolnychniepustychpodzbiorów A,B X ,

je±li A ¬ B (tzn. 8 a 2 A 8 b 2 B a ¬ b ),toistnieje x 2 X taki,»e A ¬ x ¬ B

(tzn. 8 a 2 A 8 b 2 B a ¬ x ¬ b ).

Uwaga. Niech x 2 X .Wówczasisnieje y 2 X taki,»e x + y =0.Zauwa»my,

»etaki,elementjesttylkojeden.Rzeczywi±cizałó»my,»e x + y 0 =0.Wówczas

y = y +0= y +( x + y 0 )=( y + x )+ y 0 =0+ y 0 = y 0 .

1LICZBYRZECZYWISTE 2

Tenjedynyelementprzeciwnydo x b¦dziemyoznacza¢ − x .Podobnieje±li

x 6 =0istniejejedynyelement,któryb¦dziemyoznacza¢przez x − 1 lub 1 x ,taki,

»e x · x − 1 =1.Wykorzystuj¡cteoznaczeniadeﬁniujemynowedziałaniaw

zbiorze X :odejmowanieidzielenie.Ró»nic¡dwóchliczb x,y 2 X nazywamy

liczb¦

x − y = x +( − y ) .

Je±li y 6 =0,toilorazem x i y nazywamyliczb¦

y = x · y − 1 .

Deﬁnicja. Niepustypodzbiór A X nazywasi¦

• ograniczonymzgóry ,gdy 9 M 2 X 8 x 2 A x ¬ M .Liczba M jestwówczas

nazywanaograniczeniemgórnymzbioru A .

• ograniczonymzdołu ,gdy 9 m 2 X 8 x 2 A m ¬ x .Liczba m jestwówczas

nazywanaograniczeniemdolnymzbioru A .

• ograniczonym ,gdy 9 m,M 2 X 8 a 2 A m ¬ x ¬ M .

Uwaga. B¦dziemystosowa¢nast¦puj¡c¡notacj¦

x<y () x ¬ y ^ x 6 = y

oraz

x y () y ¬ x.

Deﬁnicja. Dladowolnegoniepustegopodzbioru A X deﬁniujemyjego kres

górny(supremum) ,dalejoznaczanyprzezsup A oraz kresdolny(inﬁmum) ,

dalejoznaczanyprzezinf A wsposóbnast¦puj¡cy:

• Je±li A niejestograniczonyzgóry,tosup A =+ 1 .Je±li A niejest

ograniczonyzgóry,to

M =sup A, je±li 8 x 2 A x ¬ M ^ 8 "> 0 9 a 2 A M − "<a ¬ M.

• Je±li A niejestograniczonyzdołu,toinf A = −1 .Je±li A niejest

ograniczonyzdołu,to

M =inf A, je±li 8 x 2 A m ¬ x ^ 8 "> 0 9 a 2 A m ¬ a<m + ".

Twierdzenie1.1. NiechA Xb¦dziezbioremniepustym.Je±liAjest

ograniczonyzgóry,toistniejeM 2 Xtaki,»eM =sup A.Je±liAjest

ograniczonyzdołu,toistniejem 2 Xtaki,»em =sup A.

1LICZBYRZECZYWISTE 3

Dowód. Załó»my,»e A 6 = ; ijestograniczonyzgóry.Niech

B = { x 2 X : A ¬ x } (zbiórwszystkichogranicze«górnychdla A ) .

Wtedy B 6 = ; oraz A ¬ B .Zaksjomatuci¡gło±ciwynika,»eistnieje M 2 X

taki,»e

A ¬ M ¬ B.

Poka»emy,»e M =sup A .Popierwsze a ¬ M dlawszystkich a 2 A .We¹my

dowolne "> 0.Gdybydlaka»dego a 2 A było a ¬ M − " ,tomieliby±my

M − " 2 B .Poniewa» M ¬ B ,wi¦c M ¬ M − " ,ast¡d0 ¬ − " ,zatem

sprzeczno±¢.Wynikast¡d,»eistnieje a 2 A takie,»e M − "<a ,codowodzi,

»e M =sup A .

Dowóddrugiejcz¦±citwierdzeniajestanalogiczny.

Deﬁnicja. Dowolnyzbiór X wrazzdziałaniami+ , · : X × X ! X orazrelacj¡

¬ X × X spełniaj¡cyaksjomatyliczbrzeczywistychnazywamy zbioremliczb

rzeczywistych .

Oczywi±cieistniejewieletegotypuzbiorów,alewpewnymsensies¡one

„takiesame”,tzn.izomorﬁczne.

Twierdzenie1.2. Załó»my,»e ( X, + , · , ¬ ) oraz ( f X, e + , e · , ¬ ) spełniaj¡aksjo-

matyliczbrzeczywistych.Wówczasistniejebijekcjaf : X ! f Xtaka,»e

8 x,y 2 X f ( x + y )= f ( x ) e + f ( y ) ,

8 x,y 2 X f ( x · y )= f ( x ) e · f ( y ) ,

8 x,y 2 X x ¬ y = ) f ( x ) ¬ f ( y )

orazje±liA Xjestzbioremograniczonymzgóry,tof ( A ) f Xjestogra-

niczonyzgóryoraz

sup f ( A )= f (sup A ) .

Poniewa»zbiórliczbrzeczywistychjestopisanyjednoznacznie,mo»emy

wi¦cstosowa¢liter¦Rjakooznaczeniezbioruliczbrzeczywistych.Odpowied¹

napytanie,czyistniejezbiórRspełniaj¡cyaksjomatyliczbrzeczywistychwy-

magaskonstruowaniatakiegozbioru.Takiekonstrukcjepochodz¡odCanto-

raiDedekinda,aichpodstaw¡jestaksjomatyczniewprowadzonyzbiórliczb

naturalnych.

Deﬁnicja. Niech A Rb¦dziezbioremniepustym.Mówimy,»e x 2 A jest

elementem najwi¦kszym zbioru A je±li

8 a 2 A a ¬ x.

Mówimy,»e y 2 A jestelementem najmniejszym zbioru A je±li

8 a 2 A y ¬ a.

Frączek K - Analiza Matematyczna I.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: