Błocki Z - Funkcje Analityczne Dla Sekcji Nieteoretycznych.pdf - Matematyka. Analiza zespolona - heroinka94

FUNKCJEANALITYCZNE

JEDNOSEMESTRALNYWYKÃLADDLASEKCJINIETEORETYCZNYCH

INSTYTUTMATEMATYKIUJ,2008

ZbigniewBÃlocki

Spistre ¶ sci

1.PodstawowewÃlasno¶sciliczbzespolonych 2

2.R¶o_zniczkowaniefunkcjizespolonych 5

3.CaÃlkowaniefunkcjizespolonych 9

4.TwierdzeniecaÃlkoweCauchy'ego 11

5.Wz¶orcaÃlkowyCauchy'ego 14

6.PodstawowewÃlasno¶scifunkcjiholomor¯cznych 15

7.Szeregipot , egowe 17

8.PodstawowewÃlasno¶scifunkcjiholomor¯cznych,cd. 19

9.Funkcjeanalityczne 21

10.GlobalnetwierdzeniecaÃlkoweCauchy'ego 22

11.SzeregiLaurenta 25

12.Osobliwo¶scifunkcjiholomor¯cznych 27

13.Twierdzenieoresiduach 29

13a.ObliczaniepewnychcaÃlekrzeczywistych 30

14.Lokalizowaniezerfunkcjiholomor¯cznych 34

15.Odwzorowaniakonforemne 36

16.SferaRiemanna 39

17.Funkcjeharmoniczne 40

18.Iloczynyniesko¶nczone 43

19.Funkcja ³ Riemanna 46

20.Rodzinynormalne,iteracjafunkcjiwymiernych 48

Literatura 51

Zagadnienianaegzaminustny 52

Typesetby A M S -T E X

2 ZBIGNIEWBÃLOCKI

1.PodstawowewÃlasno¶sciliczbzespolonych

Liczb , azespolon , a nazywamypar , eliczbrzeczywistych,zbi¶orliczbzespolonychC

tozatemdokÃladniezbi¶orR 2 .Element z =( x;y ) 2 Czapisujemywpostaci x + iy .

NazbiorzeCwprowadzamymno_zenie(zgodniezreguÃl , a i 2 = ¡ 1):

( x 1 + iy 1 )( x 2 + iy 2 )= x 1 x 2 ¡y 1 y 2 + i ( x 2 y 1 + x 1 y 2 ) :

Mo_znaÃlatwopokaza¶c ¶ Cwiczenie ,_zeCzdodawaniemwektorowymwR 2 oraz

takwprowadzonymmno_zeniemjestciaÃlem.Je_zeli z = x + iy ,to x nazywamy

cz , e¶sci , arzeczywist , a ,natomiast y cz , e¶sci , aurojon , a liczby z ;ozn. x =Re z , y =Im z .

Ka_zd , aliczb , ezespolon , a z mo_zemyr¶owie_zzapisa¶cprzypomocy wsp¶oÃlrz , ednychbie-

gunowych :

z = r (cos ' + i sin ' ) ;

x 2 + y 2 ,za¶s ' jestk , atempomi , edzyodcinkami[0 ; 1]i[0 ;z ]

(gdy z6 =0)-nazywamygo argumentem liczby z .Zachodzioczywi¶scie nier¶owno¶s¶c

tr¶ojk , ata

jz + wj·jzj + jwj; z;w2 C ;

mo_znar¶ownie_zÃlatwopokaza¶c ¶ Cwiczenie ,_ze

jzwj = jzjjwj; z;w2 C :

Chcemyterazzde¯niowa¶czespolon , afunkcj , e wykÃladnicz , a exp:C ! C.Dla

z = x + iy2 Coczekujemy,_ze e z = e x e iy ,czyliwystarczyokre¶sli¶c e it dla t2 R.

ChcemybyfunkcjataspeÃlniaÃla

dt e it = ie it ; e 0 =1 ;

awi , ec(oznaczaj , ac e it = A + iB ) A 0 = ¡B , B 0 = A , A (0)=1, B (0)=0.Jedynym

rozwi , azaniemtegoukÃladus , afunkcje A =cos t , B =sin t .Funkcj , ewykÃladnicz , a

de¯niujemyzatemnast , epuj , aco:

e z := e x (cos y + i sin y ) ; z = x + iy2 C :

Mo_znaÃlatwopokaza¶c ¶ Cwiczenie jejnast , epuj , acewÃlasno¶sci

e z + w = e z e w ; z;w2 C ;

dt e tz = ze tz ; t2 R ;z2 C :

Zfaktu,_ze je z j = e x orazdzi , ekitemu,_ze y jestargumentemliczby e z wynika,_ze

funkcjawykÃladniczaprostepionowe x = x 0 odwzorowujenaokr , egiopromieniu e x 0 ,

natomiastprostepoziome y = y 0 nap¶oÃlprosteotwarteopocz , atkuw0oargumencie

y 0 .

Wracaj , acdowsp¶oÃlrz , ednychbiegunowych,mo_zemyjeterazzapisa¶cwpostaci

z = re i' .Dla z6 =0przezarg z oznaczamyzbi¶orargument¶owliczby z ,tzn.

arg z := f'2 R: z = jzje i' g:

gdzie r = jzj =

FUNKCJEANALITYCZNE 3

Poniewa_z e i ( ' +2 ¼ ) = e i' ,dladowolnego ' 0 2 arg z mamy

arg z = f' 0 +2 k¼ : k2 Z g:

Dlaka_zdego z2 C ¤ (:=C nf 0 g )znajdziemydokÃladniejedenelementarg z nale_z , acy

doprzedziaÃlu[ ¡¼;¼ ).Nazywamygo argumentemgÃl¶ownym liczby z ioznaczamy

Arg z .FunkcjaArg,okre¶slonanaC ¤ ,jestnieci , agÃlanap¶oÃlprostej( ¡1; 0).

Mo_zemyterazpoda¶cgeometryczn , ainterpretacj , emno_zeniawC:je_zeli z = re i' ,

w = ½e iÃ ,to zw = r½e i ( ' + Ã ) ;czylimno_zymydÃlugo¶sci,adodajemyargumenty.

Mo_zemyst , adr¶ownie_zwywnioskowa¶c wz¶ordeMoivre'a :ztego,_ze( e i' ) n = e in'

otrzymamy

(cos ' + i sin ' ) n =cos( n' )+ i sin( n' ) ;'2 R ;n2 N :

Dladanego z2 Coraz n2 Nprzez pierwiastek z stopnia n rozumiemyzbi¶or

n p z := fw2 C: w n = zg:

Zapisuj , ac z i w wewsp¶oÃlrz , ednychbiegunowych:

z = re i' ;w = ½e iÃ ;

otrzymamywarunki

½ = r 1 =n ;Ã = ' +2 k¼

n ;k2 Z :

Poniewa_z e iÃ = e i ( Ã +2 ¼ ) ,dla k =0 ; 1 ;:::;n¡ 1otrzymamywszystkierozwi , azania.

Zatem n p z = fjzj 1 =n e i ( ' +2 k¼ ) =n : k =0 ; 1 ;:::;n¡ 1 g:

Wszczeg¶olno¶sci,pierwiastekstopnia n zliczbyniezerowejjestzawszezbiorem n

elementowy m.

¶ Cwiczenie Udowodni¶c,_zerozwi , azaniemr¶ownaniakwadratowegowC:

az 2 + bz + c =0 ;

gdzie a2 C ¤ , b;c2 C,jest

z = ¡b + p ¢

2 a ;

gdzie¢= b 2 ¡ 4 ac ,przyczym p ¢jestzbioremdwuelementowymje_zeli¢ 6 =0-w

tymprzypadkuzawszeotrzymamydwarozwi , azania(jednoje_zeli¢=0).

Wprzypadkuwielomian¶owdowolnegostopniamamyrezultatniekonstruktywny,

tzw. zasadniczetwierdzeniealgebry .

Twierdzenie1.1. Ka_zdyniestaÃlywielomianzespolonymapierwiastek.

Powy_zszyrezultatmo_znaudowodni¶cwspos¶obelementarnyprzypomocy lematu

d'Alemberta (oryginalnydow¶odz1746r.zawieraÃlluk , e):

Lemat1.2. ZaÃl¶o_zmy,_zePjestniestaÃlymwielomianemzespolonymoraz,_zedla

pewnegoz 0 2 C mamyP ( z 0 ) 6 =0 .Wtedydlaka_zdegootoczeniaUpunktuz 0

znajdziemyz2Utakie,_zejP ( z ) j<jP ( z 0 ) j.

4 ZBIGNIEWBÃLOCKI

Dow¶od. (Argand,1806)Niech

P ( z )= a 0 + a 1 z + ¢¢¢ + a n z n :

Wtedy

P ( z 0 + h )= a 0 + a 1 ( z 0 + h )+ ¢¢¢ + a n ( z 0 + h ) n = P ( z 0 )+ A 1 h + ¢¢¢ + A n h n ;

gdziewsp¶oÃlczynniki A j zale_z , atylkood P i z 0 .Kt¶ory¶sznichnapewnonieznika,

gdy_zwprzeciwnymwypadkuwielomian P byÃlbystaÃly.Niech j b , edzienajmniej-

szymindeksem,dlakt¶orego A j 6 =0.Mamyzatem

P ( z 0 + h )= P ( z 0 )+ A j h j + R ( h ) ;

gdzie

jR ( h ) j<jA j h j j;

gdy jhj jestodp.maÃle, h6 =0.Mo_zemyznale¶z¶c h odowolniemaÃlym jhj ,dlakt¶orego

A j h j maargumentprzeciwnydoargumentu P ( z 0 ).Wtedy

jP ( z 0 + h ) j·jP ( z 0 )+ A j h j j + jR ( h ) j = jP ( z 0 ) j¡jA j h j j + jR ( h ) j<jP ( z 0 ) j: ¤

Dow¶odTwierdzenia1.1. Oznaczaj , ac P jakwdowodzieLematu1.2izakÃladaj , ac,

_ze a n 6 =0,mamy

jP ( z ) j¸ja n jjzj n ¡ja 0 + a 1 z + ¢¢¢ + a n¡ 1 z n¡ 1 j

¸ja n jjzj n ¡ja 0 j¡ja 1 jjzj¡¢¢¢¡ja n¡ 1 jjzj n¡ 1 :

Mo_zemywszczeg¶olno¶sciznale¶z¶c R> 0takie,_ze jP ( z ) j>jP (0) j ,gdy jzj = R .

Funkcja jPj jestci , agÃlanaC(booczywistejest,_zemno_zeniejestodwzorowaniem

ci , agÃlym),znajdziemyzatem z 0 2K (0 ;R )takie,_ze

jP ( z 0 ) j =min

K (0 ;R )

jPj:

Je_zeli P ( z 0 ) 6 =0,todzi , ekiLematowi1.2znajdziemy z2K (0 ;R )takie,_ze jP ( z ) j<

jP ( z 0 ) j -sprzeczno¶s¶c.¤

Dla z2 C ¤ de¯niujemy

log z := fw2 C: e w = zg

(dla z =0tenzbi¶orjestoczywi¶sciepusty).Je_zelizapiszemy w = ´ + i» , z = re i' ,

tootrzymamyr¶ownanie e ´ e i» = re i' .Zatem ´ =log r =log jzj ,natomiast » =

' +2 k¼ , k2 Z.Ostatecznie

log z =log jzj + i arg z:

Liczb , e

Log z :=log jzj + i Arg z

FUNKCJEANALITYCZNE 5

nazywamy logarytmemgÃl¶ownym z .

Przypomocylogarytmumo_zemyzde¯niowa¶cpot , egizespolone:dla z2 C ¤ ,

w2 CkÃladziemy

z w = e w log z :

Zauwa_zmy,_ze

z 1 =n = e 1 n (log jzj + i arg z ) = jzj 1 =n e i arg z

n ;

czyliotrzym amytosamo,coprzyde¯nicjipierwiastka.

¶ Cwiczenie Obliczy¶c i i .

Przypomnijmy,_ze

e i' =cos ' + i sin ';'2 R :

Zespolonefunkcjetrygonometrycznemo_znaÃlatwowyprowadzi¶cze wzor¶owEulera :

e iz =cos z + i sin z;

e ¡iz =cos z¡i sin z:

St , ad

2 ;

sin z := e iz ¡e ¡iz

2 i :

Mamyr¶ownie_z

2 ;

sinh z := ¡i sin( iz )= e z ¡e ¡z

2 :

z 2 ¡ 1).

Dlaliczbyzespolonej z = x + iy de¯niujemyjej sprz , e_zenie : z := x¡iy .Natych-

miastotrzymujemy,_ze

jzj 2 = zz:

¶ Cwiczenie Pokaza¶c,_ze( zw )= zw oraz e z = e z .

2.R¶o_zniczkowaniefunkcjizespolonych

Oczywi¶scieka_zdeodwzorowanielinioweC ! Cjestpostaci

(2.1) C 3z7¡!az2 C

dlapewnego a2 C.Poniewa_zC=R 2 ,mo_zemyr¶ownie_zrozpatrywa¶cr¶ownania

liniowewsensierzeczywistym-b , ed , aonepostaci

C=R 2 3z7¡!Az3 R 2 =C ;

cos z := e iz + e ¡iz

cosh z :=cos( iz )= e z + e ¡z

¶ Cwiczenie Pokaza¶c,_zearccos z = ¡i log( z +

Błocki Z - Funkcje Analityczne Dla Sekcji Nieteoretycznych.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: