03. Wyznaczanie cisnienia atmosferycznego.pdf

(452 KB) Pobierz
Microsoft Word - 03. Wyznaczanie ciśnienia atmosferycznego.doc
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
3. WYZNACZANIE ĆIŚNIENIA ATMOSFERYCZNEGO
1. Wstęp teoretyczny.
1.1. Ciśnienie atmosferyczne.
Ciśnienie fenomenologicznie (makroskopowo) jest to stosunek siły parcia płynu
działającej na powierzchnię do wielkości tej powierzchni:
p  ,
F
(1)
A
przy czym przyjmuje się, że siła parcia działa prostopadle do powierzchni. Dlatego ciśnienie
jest skalarem. Mikroskopowo ciśnienie oznacza sumę oddziaływań wynikających ze zderzeń
molekuł płynu ze ścianą naczynia. Ponieważ przyjmuje się, że zderzenia te są sprężyste, więc
oddziaływania siłą dające zmianę pędu molekuł są prostopadłe do ścianki.
W takim razie ciśnienie atmosferyczne to stosunek wartości wektora siły, z jaką słup
powietrza naciska na powierzchnię ziemi do powierzchni, na jaką dany słup naciska. Co za
tym idzie, ciśnienie zależy od wysokości słupa powietrza i jest tym niższe im niższy jest słup
powietrza, czyli im wyżej ciśnienie jest mierzone. Dlatego, na podstawie średniej wielkości
ciśnienia atmosferycznego na Ziemi na poziomie morza, wprowadzono jednostkę ciśnienia –
atmosferę – równą 101325 Pa. Ciśnienie o wartości jednej atmosfery jest nazywane
ciśnieniem normalnym .
W meteorologii, w celu wyeliminowania wpływu wysokości wykonywania pomiaru
ciśnienia atmosferycznego wprowadza się pojęcie ciśnienia znormalizowanego (inaczej
ciśnienia zredukowanego ). Jest to wartość ciśnienia atmosferycznego, które występowałoby
na poziomie morza w tych samych warunkach otoczenia (ciśnienie rzeczywiste, temperatura
powietrza), w którym następuje pomiar. To właśnie tę wartość podaje się w prognozach
pogody.
Zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości można wyprowadzić korzystając z
równania statyki płynów znajdujących się w polu sił ciężkości:
p
g
,
(2)
z
Zakład Inżynierii Procesowej
1
518481709.003.png
 
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
gdzie z jest osią pionową skierowaną do góry (przyjmujemy z =0 dla poziomu morza), -
gęstością płynu, natomiast g oznacza przyspieszenie. W przypadku powietrza jego gęstość
zależy zarówno od ciśnienia p jak i od temperatury T . Przyjmuje się dla powietrza, że jest
ono, w warunkach panujących w atmosferze, gazem doskonałym. W takim razie spełnia ono
równania stanu gazu doskonałego:
pV
 ,
m
(3)
oznaczono indywidualną stałą gazową. Po przekształceniu wzoru (3) otrzymuje
się gęstość powietrza w funkcji ciśnienia p i temperatury T :
.
m
p
(4)
V
R
T
Po podstawieniu (4) do (2) otrzymuje się ogólne równanie opisujące zmianę ciśnienia
w atmosferze:
p
pg
.
(5)
z
R
T
Dla niewielkich wysokości nad poziomem morza zarówno temperatura jak
i przyspieszenie ziemskie w niewielkim stopniu zależą od wysokości, a w takim razie można
przyjąć, że są stałe. Warunkiem brzegowym dla równania (5) jest wartość ciśnienia
znormalizowanego p z dla poziomu morza z =0. Otrzymuje się rozwiązanie równania (5) w
postaci:
p z
p
exp .
gz
(6)
R
T
1.2. Ciśnienie hydrostatyczne.
Analogicznie do ciśnienia atmosferycznego wprowadza się ciśnienie hydrostatyczne –
ciśnienie, jakie panuje na pewnej głębokości w cieczy niebędącej w ruchu, znajdującej się w
polu grawitacyjnym. Ciśnienie hydrostatyczne zależy od głębokości (rośnie wraz z
głębokością w cieczy). Dla cieczy zakłada się, że jest nieściśliwa, czyli że jej gęstość jest stała
= const . Jeżeli dodatkowo przyjmie się współrzędną pionową h skierowaną w dół, przy
czym początek osi h =0 przyjmie się na powierzchni cieczy ( h – głębokość w cieczy), to z
równania statyki płynów (2) otrzyma się:
p
g
.
(7)
h
Zakład Inżynierii Procesowej
2
gdzie przez R
518481709.004.png 518481709.005.png
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
Jako warunek brzegowy przyjmuje się p=p g dla h =0, gdzie p g oznacza wartość ciśnienia
na powierzchni płynu. Rozwiązanie równania (7) z tym warunkiem brzegowym daje znany
wzór:
p g
p
gh
,
(8)
pozwalający wyliczyć ciśnienie hydrostatyczne.
1.3. Ciśnienie w gazie, przemiana izotermiczna.
Gaz znajdujący się w warunkach zbliżonych do warunków normalnych można traktować
jako gaz doskonały. W takim przypadku ciśnienie p , objętość V oraz temperatura tego gazu są
związane ze sobą zależnością opisywaną równaniem stanu gazu doskonałego (3). Jeżeli
wymiary naczynia, w którym gaz się znajduje są niewielkie można pominąć zmianę ciśnienia
w gazie wynikającą z wysokości jego słupa. W takim przypadku przyjmuje się, że ciśnienie
gazu w całym naczyniu jest jednakowe. Jeżeli ilość gazu w naczyniu nie ulega zmianie oraz
gaz podlega przemianie izotermicznej, to iloczyn ciśnienia i objętości gazu nie ulega zmianie
(prawo Boyle’a dla gazu doskonałego), co można przedstawić następująco:
p  ,
1
p
2
2
(9)
gdzie indeksem 1 oznaczono stan gazu przed przemianą izotermiczną, a indeksem 2 stan gazu
po tej przemianie.
1.4. Gęstość wody.
Gęstość dowolnej substancji jest definiowana jako stosunek masy zawartej w objętości
elementarnej do tej objętości:
.
dm
(8)
dV
Ogólnie gęstość substancji zależy od ciśnienia p i od temperatury T , ponieważ zmiany
tych parametrów mogą pociągać za sobą zmianę objętości. Dla cieczy zmienność gęstości pod
wpływem zmiany ciśnienia jest niewielka i dlatego jest zwykle pomijana, natomiast
rozszerzalność termiczna cieczy ma wyraźny wpływ na jej gęstość. Zwykle zależność
gęstości cieczy od temperatury opisywana jest zależnościami empirycznymi, obowiązującymi
w określonym zakresie temperatury. Dla wody wykorzystuje się następujące zależności
gęstości od temperatury:
(
T
4
2
(
T
283
)
dla T = 0 ÷ 40 o C
1000
[kg/m
3
]
,
(9)
503
,
57
(
T
67
,
2
Zakład Inżynierii Procesowej
3
1 V
V
 
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
(
T
4
2
(
T
273
)
dla T = 25 ÷ 100 o C
1000
[kg/m
3
]
. (10)
466
,
7
T
67
)
Do powyższych wzorów temperaturę podstawia się w skali Celsjusza.
1.5. Przyspieszenie ziemskie.
Przyspieszenie ziemskie jest to przyspieszenie ciał swobodnie spadających na Ziemię,
bez oporów ruchu. Na takie ciała działają dwie siły, powodujące dwie składowe
przyspieszenia ziemskiego. Pierwszą, i zarazem główną siłą jest siła grawitacji. Powoduje
ona przyspieszenie grawitacyjne. Jest ono odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości
od środka Ziemi, zgodnie z prawem powszechnego ciążenia. Wraz z wzrostem wysokości
przyspieszenie maleje w wyniku zmniejszania się siły grawitacji. Drugą siła działającą na
ciała jest siła odśrodkowa, spowodowana ruchem obrotowym Ziemi dookoła swojej osi.
Wynikające z niej przyspieszenie odśrodkowe jest wprost proporcjonalne do odległości ciała
od osi Ziemi. Powoduje to, że występujące na równiku przyspieszenie odśrodkowe jest
największe, natomiast na biegunach jest równe zeru. Dlatego też wprowadzono
przyspieszenie ziemskie normalne g n . . Odpowiada ono ziemskiemu przyspieszeniu
grawitacyjnemu na poziomie morza na szerokości geograficznej około 45,5° i wynosi:
g
9
,
80665
[m/s
2
]
.
(11)
n
Wartość przyspieszenia ziemskiego normalnego g n . wykorzystywana jest do obliczeń
niewymagających bardzo wysokiej precyzji. Dokładniejszą wartość można wyliczyć z
wzoru:
g
9
7803218
(
0
0053024
sin
2
-
0,0000058
sin
2
2
)
-
3,086
10
-6
h
[m/s
2
]
, (12)
gdzie: - oznacza szerokość geograficzną, natomiast h wysokość nad poziomem morza.
Powyższa, przybliżona zależność opisuje przyspieszenie ziemskie w dowolnym punkcie na
Ziemi.
2. Zasada pomiaru.
2.1. Wyznaczenie ciśnienia atmosferycznego.
Dla obliczenia ciśnienia atmosferycznego wykorzystuje się wyniki dwóch niezależnych
pomiarów uzyskanych w jednej serii pomiarowej. Biorąc pod uwagę, że w zamkniętej rurce
znajduje się stała ilość powietrza, będącego gazem doskonałym, w stałej temperaturze można
wykorzystać zależność (9) w postaci:
Zakład Inżynierii Procesowej
4
MECHANIKA PŁYNÓW - LABORATORIUM
p  ,
i V
i
p
j
j
(13)
gdzie indeksami i , j oznaczono odpowiednio stan gazu dla dwóch niezależnych pomiarów.
Wykorzystując to, że średnica rurki nie zmienia się w trakcie pomiaru (stała
powierzchnia przekroju poprzecznego) można równanie (13) przedstawić w postaci:
p  ,
i h
i
p
j
j
(14)
gdzie h oznacza wysokość słupa gazu w rurce (rys. 1). Ciśnienie p w rurce można obliczyć
korzystając z równowagi ciśnień na poziomie c (rys. 1), wykorzystując równanie (8), w
którym p g =p a :
p a
p
gH
,
(15)
gdzie p a oznacza panujące ciśnienie atmosferyczne. Podstawiając równanie (15) z
odpowiednimi indeksami do wzoru (14) otrzymuje się:
p
i
h
i
(
p
a
gH
)
h
i
p
j
h
j
(
p
a
gH
j
)
h
j
,
(16)
i po prostych przekształceniach:
p
.
g
H
h
i
H
h
j
(17)
a
h
h
j
i
Wzór (17) pozwala wyliczyć wartość ciśnienia atmosferycznego.
2.2. Oszacowanie maksymalnego pozornego błędu względnego.
Maksymalny pozorny błąd względny f wartości mierzonej f jest to stosunek maksymalnego
błędu bezwzględnego pomiaru  f do uzyskanego wyniku pomiaru f p :
.
f
(18)
f
f
p
Jeżeli wartość parametru f nie jest mierzona w pomiarze bezpośrednim, tylko wynika
pośrednio z pomiarów innych parametrów x i , przy czym można przedstawić ją w postaci
funkcji tych parametrów:
f
f
( 2
x
1
,
x
,...,
x
)
,
(19)
to błąd bezwzględny pomiaru można wyznaczyć korzystając z różniczki zupełnej:
f
f
x
f
x
...
f
x
.
(20)
x
1
x
2
x
n
1
2
n
Zakład Inżynierii Procesowej
5
V
h
i
i
j
518481709.001.png 518481709.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin