Typowymi, a zarazem ważnymi zadaniami, dotyczącymi funkcji kwadratowej są zadania z parametrem dotyczące liczby pierwiastków. Oto kilka przykładów dotyczących tego typu zadań.
Naszkicuj wykres funkcji f(x)= x2 – 4x, a następnie wykresy funkcji
f(x)=x2 - 4x + 4f(x)=x2 - 4x + 7f(x)=x2 - 4x – 2
Wykresy powyższych funkcji naszkicowane w jednym układzie współrzędnych wyglądają następująco
Funkcje f(x)=x2 - 4x + 4 f(x)=x2 - 4x + 7 f(x)=x2 - 4x – 2 powstają w wyniku przesunięcia funkcji f(x)= x2 – 4x odpowiednio o wektory [0,4], [0,7] , [0,-2].
Proszę zauważyć, że wzory wszystkich tych trzech funkcji można zapisać za pomocą jednego ogólnego wzoru f(x)=x2-4x+m, w którym m może być równe 4, 7, -2 oraz innym wartościom. Taki zapis funkcji kwadratowej nazywamy funkcją kwadratową z parametrem. W zależności od wartości parametru funkcja tego typu posiada różne własności. I tak :
- dla m (- :4) funkcja f(x)=x2 - 4x+m ma dwa miejsca zerowe,- dla m = 4 funkcja f(x)=x2 - 4x+m ma jedno miejsce zerowe,- dla m (4;+) funkcja f(x)=x2 - 4x+m nie ma miejsc zerowych
Dla jakich wartości parametru m :
a) funkcja y = x2 – 2mx + m2 – 3
b) funkcja kwadratowa y = mx2 – mx + 1
c) funkcja y = (m+1)x2 – x + m – 1
ma jedno miejsce zerowe ?
a) dana funkcja y = x2 – 2mx + m2 – 3 jest funkcją kwadratową, więc aby miała jedno miejsce zerowe musi być spełniony warunek . Wyznaczamy wartość D korzystając ze wzoru D = b2 – 4ac.
a = 1 b = -2m c = m2 – 3
D = b2 – 4ac = (-2m)2 – 4×1×( m2 – 3) = 4m2 – 4m2 + 12 = 12
Ponieważ nie jest spełniony warunek dla żadnego m.
Odp. Funkcja ma jedno miejsce zerowe dla mÎÆ.
b) funkcja y = mx2 – mx + 1 ma być kwadratową i mieć jedno miejsce zerowe, zatem współczynnik przed x2 musi być różny od zera (a¹0) oraz . Stąd otrzymujemy
a = m b = -m c = 1
a ¹0 Þ m ¹ 0
D = b2 – 4ac = (-m)2 – 4×m×1 = m2 – 4m
Þ m2 – 4m = 0
m(m – 4) = 0
m = 0 lub m – 4 = 0
m = 4
Biorąc pod uwagę wszystkie warunki
m ¹ 0 i (m = 0 lub m = 4)
otrzymujemy szukaną wartość parametru m = 4.
Odp. Funkcja y = mx2 – mx + 1 ma jedno miejsce zerowe dla mÎ{4}.
c) y = (m+1)x2 – x + m – 1
W tym przypadku należy rozpatrzyć dwie możliwości: pierwsza, gdy współczynnik stojący przy x2 jest równy zero, druga – gdy jest on różny od zera.
a = m + 1 b = -1 c = m – 1
Gdy a = 0 Þ m + 1 = 0 Þ m = -1
Wówczas nasza funkcja staje się funkcją liniową o wzorze y = -x – 2 (do wzoru funkcji podstawiamy m = -1). Taka funkcja ma jedno miejsce zerowe.
Gdy a ¹ 0 Þ m + 1 ¹ 0 Þ m ¹ -1
Wówczas otrzymujemy funkcje kwadratową. Aby ona miała jedno miejsce zerowe musi być spełniony warunek .
D = b2 – 4ac = (-1)2 – 4×(m + 1)×(m - 1) = 1 – 4(m2 – 1 ) = 1 – 4m2 +4 =
=3 – 4m2
3 – 4m2 = 0 Þ ()()=0
=0 lub =0
-2m = -/: (-2) lub 2m = -/:2
m = lub m =
Odp. Funkcja ma jedno miejsce zerowe dla m Î {-1, - , }.
Dla jakich wartości parametru p równanie x2 + px + p + 5 = 0 ma dwa rozwiązania, które są liczbami dodatnimi ?
Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, jeżeli D > 0.
a = 1 b = p c = p + 5
D = b2 – 4ac = (p)2 – 4×1×(p + 5) = p2 – 4p2 – 20
D > 0 Þ p2 – 4p2 – 20 > 0
p2 – 4p2 – 20 = 0
a1 = 1 b1 = -4 c1 = -20
D1 = b12 – 4a1 c1 = (-4)2 – 4×1×(-20) = 16 + 80 = 96
lub
p1 p2
p Î (-¥; 2-2) È (2+2; +¥)
Aby rozwiązania równania były liczbami dodatnimi ich iloczyn i suma muszą być dodatnie. Jeżeli x1, x2 oznaczają rozwiązania równania, to x1×x2 > 0 i x1 + x2 > 0. Sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowe można wyznaczyć korzystając ze wzorów Viete’a
x1×x2 = i x1 + x2 =.
x1×x2...
marysiari