Dotychczas omawiano układy statycznie wyznaczalne, znajdujące się pod działaniem obciążenia stałego, tj. takiego, którego wartość i linia działania lub punkt zaczepienia nie ulega zmianie.
Takie obciążenia występują we wszystkich konstrukcjach (np. ciężar własny). Drugą ważną grupą obciążeń budowlanych są obciążenia zmienne ruchome. Obciążenia tego typu mogą wywoływać np. koła pojazdu czy suwnic tłum ludzi przechodzący po kładce dla pieszych (obciążenie ciągłe). Przy przemieszczaniu się obciążenia wzdłuż dowolnego układu prętowego, reakcje podporowe i siły wewnętrzne w poszczególnych przekrojach będą zmieniały swoje wartości. Dla celów projektowych potrzebne są ekstremalne wartości, jakie mogą osiągać te wielkości.
Inny charakter będzie miało obciążenie śniegiem lub obciążenie od ciężaru wyposażenia pomieszczeń i towarów w magazynie.
Może się zdarzyć, że w magazynie o wieloprzęsłowej konstrukcji towar nie jest rozłożony równomiernie we wszystkich przęsłach, a obciąża tylko niektóre z nich. Taki rozkład obciążenia może powodować, że niektóre wielkości statyczne (np. momenty zginające) mogą osiągać większe wartości niż przy równomiernym rozłożeniu obciążenia.
W przypadku obciążenia zmiennego podstawowe znaczenie mają ekstremalne wartości statyczne (siły wewnętrzne, ugięcia itp.) jakie mogą wystąpić w układzie, dla najbardziej niekorzystnego położenia lub rozkładu obciążenia.
Ich wyznaczenie jest zasadniczym celem obliczeń statycznych dla obciążenia zmiennego.
Ważną klasą obciążeń zmiennych są obciążenia wynikające z oddziaływania na konstrukcję pracy maszyn, np. turbin lub generatorów (obciążenie zmienne nieruchome). Zachowanie się konstrukcji pod wpływem takiego obciążenia bada się w ramach dynamiki budowli.
Obciążenia zmienne ruchome i nieruchome ogólnie dzielimy na dwie grupy:
obciążenia, których zmienność w czasie jest na tyle niewielka, że można je analizować jako statyczne,
obciążenia w których pominięcie czynników dynamicznych jest nie możliwe.
Poniżej zostanie omówiony tylko pierwszy przypadek, a mianowicie statyczne działanie obciążeń zmiennych.
Linie wpływu
Podstawowym narzędziem analizy statycznego działania obciążeń zmiennych są linie wpływu, które można zdefiniować następująco:
Linie wpływu są to funkcje lub wykresy obrazujące zależność między poszukiwaną wielkością statyczną (np. reakcją, siłą wewnętrzną lub ugięciem układu), a położeniem jednostkowej siły skupionej P=1.
Linie wpływu służą przede wszystkim do wyznaczenia ekstremalnych wartości dowolnych wielkości statycznych, np. reakcji, sił wewnętrznych w wybranych przekrojach układu.
Wykorzystywane są również do sporządzania obwiedni sił wewnętrznych, mających istotne znaczenie przy projektowaniu niektórych niestandardowych konstrukcji.
Zadanie
Wyznaczyć linie wpływu reakcji podporowych w belce swobodnie podpartej.
Rysunek 2.88 Belka swobodnie podparta – linie wpływu reakcji.
Rozpatrzono obciążenie ruchomą jednostkową siłą P=1, która może znajdować się w dowolnym punkcie belki opisanym zmienna x (0£x£l – rys.) Przyjęto, że w przypadku wyznaczania linii wpływu, linie przerywane nie oznaczają spodów, lecz określają fragment układu, po którym przemieszcza się siła P. Siła P jest bezwymiarowa.
Reakcje wyznaczono ze standardowych równań równowagi:
()
Podstawiając do wzorów () wartości siły P=1, otrzymano równania linii wpływu reakcji:
Linie wpływu opisano skrótem L.w., dodając oznaczenie odpowiedniej wielkości statycznej. Równania reakcji i ich linii wpływu różnią się od siebie jednostkami. Siła P nie ma wymiaru, zatem linia wpływu reakcji nie ma określonej jednostki.
Wzory () określają wartości reakcji RA i RB , w zależności od położenia siły jednostkowej P=1. Wykresy tych funkcji są liniami prostymi, więc aby je narysować, należy wyznaczyć dwie wielkości, np. w punktach skrajnych (podporowych). Jeżeli siła jednostkowa P znajduje się w punkcie A, dla którego x=0, to L.w. RA =1, a L.w. RB=0 (rys.2.88b). Jeżeli z kolei siła P znajduje się w punkcie B, dla którego x=l, to L.w. RA=0, L.w. RB=1 (rys. 2.88c).
Skrajne rzędne linii wpływu reakcji podporowych połączone liniami prostymi dają oczekiwane wykresy (rys. 2.88d i e).
Przyjęto konwencję, że dodatnie wartości linii wpływu znajdują się zawsze na dole.
Z wykresu linii wpływu reakcji RA z łatwością można odczytać, że reakcja ta jest równa jedności, gdy siła jednostkowa znajduje się nad podporą A. Jeżeli siła przesuwa się w kierunku podpory B, reakcja RA maleje, osiąga wartość RA=0,5 w połowie rozpiętości belki i staje się równa zero, gdy siła znajduje się nad podporą B.
Przy dowolnym obciążaniu układu na podstawie linii wpływu można wyznaczyć wartości reakcji lub sił wewnętrznych.
Na rysunku 2.92 przedstawiono belkę swobodnie podpartą, obciążoną pionowymi siłami skupionymi P1, P2, ......., Pn. Zadanie polega na obliczeniu wartości dowolnej wielkości statycznej K (np. KºRA, RB, Ma lub Va) dla danego obciążenia.
Na rysunku 2.92 pokazano linię wpływu momenty Ma, obliczoną w przykładzie 2.26 (rys.89e). Oznaczając rzędną linii wpływu w punkcie i przyłożenia siły jednostkowej P=1 przez hi, wartość rozpatrywanej wielkości statycznej K dla dowolnej, nie jednostkowej siły Pi jest iloczynem wartości tej siły i rzędnej hi.. Jeżeli na belkę działa układ n pionowych sił skupionych (rys.2.92), to wzór na wartość K wywołaną tymi siłami, można zapisać w postaci odpowiedniej sumy. Zatem:
Na przykładzie linii wpływu momentu Ma łatwo jest sprawdzić jednostki równania (2.49). Jednostkami rzeczywistego obciążenia siłami skupionymi są jednostki siły, np. kN, a jednostkami linii wpływu momentu zginającego z rysunku 2.92 są jednostki długości (metry). A więc z uwagi na iloczyn (2.49) uzyskano właściwą jednostkę momentu zginającego, czyli kNm.
Uogólnienie wzoru (2.49) pozwoli na zapisanie analogicznego równania dla obciążenia rozłożonego w sposób ciągły (rys.2.93a).
Rysunek 2.93. Obciążenie linii wpływu obciążeniem ciągłym.
Dowolną wielkość statyczną K można zapisać przy wykorzystaniu całki. Zatem:
W najprostszym przypadku, gdy obciążenie ciągłe jest równomiernie rozłożone (rys.2.93b), funkcję q(x)=q zapisuje się przed znakiem całki, otrzymując następujący wzór:
gdzie A jest polem odpowiedniego fragmentu linii wpływu – zakreskowanej (ukośnie ) figury na rysunku 2.93b.
89
knsia