STW.pdf

(194 KB) Pobierz
1
7. Szczególna teoria względności.
Wybór i opracowanie zadań 7.1-7.9: Barbara Kościelska
Więcej zadań z tej tematyki znajduje się w II części skryptu.
7.1. Czy można znaleźć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i Bitwa pod
Grunwaldem zaszłyby:
a) w tym samym miejscu,
b) w tym samym czasie?
7.2. W tym samym miejscu korony słonecznej w obrębie 12 s nastąpiły dwa wybuchy.
Rakieta poruszająca się ze stałą prędkością względem Słońca zarejestrowała obydwa te
zdarzenia w odstępie 13 s.
a) Z jaką prędkością porusza się rakieta?
b) Ile wynosi odległość przestrzenna między wybuchami w układzie związanym z
poruszającą się rakietą?
7.3. Dwie cząstki o jednakowych prędkościach v = 0,75 c poruszają się po jednej prostej i
padają na tarczę. Jedna z nich uderzyła w tarczę o ∆ t = 10 -8 s później niż druga. Obliczyć
odległość między tymi cząstkami w locie w układzie odniesienia związanym z nimi.
7.4. Długość nieruchomego pociągu jest dokładnie taka sama jak długość tunelu i wynosi L 0 .
Pociąg ten jedzie z prędkością v . Jak długo będzie trwał przejazd pociągu przez tunel według
pasażera siedzącego w pociągu oraz według turysty stojącego koło tunelu? Czas przejazdu
określamy jako odstęp czasu pomiędzy momentem, kiedy czoło pociągu mija wlot tunelu i
chwilą gdy koniec ostatniego wagonu znajduje się przy końcowej krawędzi tunelu.
7.5. Mezony µ, które powstają w górnych warstwach atmosfery poruszają się w kierunku
Ziemi z prędkością v = 0,9 c ( c -prędkość światła w próżni). Po przebyciu drogi L (mniejszej
niż grubość atmosfery) mezony rozpadają się. Obliczyć:
(a) czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z Ziemią oraz w układzie związanym
z mezonem,
(b) grubość warstwy atmosfery, jaką przebędzie mezon, mierzoną w układzie mierzonym z
mezonem.
7.6. Układ K’ porusza się z prędkością u względem nieruchomego układu odniesienia K . W
układzie K pręt poruszający się względem niego z prędkością v = 2 u ma długość L . Jaka jest
długość tego pręta w układzie K’ ? Długość spoczynkowa pręta w obu układach jest taka
sama.
7.7. Sztywny pręt o długości L 2 = 1,5 m znajduje się w spoczynku względem układu K 2 . Jaka
będzie długość L 1 i orientacja pręta θ 1 w układzie K 1 , jeżeli w układzie K 2 pręt tworzy kąt θ 2 =
45° z osią x 2 i układ ten porusza się z prędkością v = 0,98c.
7.8. * Jaką maksymalną prędkość musi mieć cząstka, aby jej energia kinetyczna mogła być
napisana w postaci E = 0,5 m 0 v 2 z błędem nie przekraczającym 1%.
7.9. Dowieść, że cząstka o ładunku q poruszająca się prostopadle do pola magnetycznego o
indukcji B będzie zataczać okrąg o promieniu R = (2 E 0 E K + E K 2 ) 1/2 /( qcB ), gdzie E 0 jest
energią spoczynkową, a E K energią kinetyczną cząstki.
Rozwiązania:
7.1.R. Załóżmy, że Gniezno, w którym odbył się w roku 966 (chwila czasu t 1 ) Chrzest Polski,
ma w przestrzeni w układzie współrzędnych związanym z Ziemią położenie x 1 , natomiast w
chwili czasu t 2 (1410 rok) odbyła się w punkcie o współrzędnej x 2 Bitwa pod Grunwaldem.
Wiemy, że w układzie współrzędnych związanym z Ziemią oba zdarzenia zaszły w innych
miejscach i innym czasie. Załóżmy, że istnieje jakiś inny układ odniesienia, poruszający się
względem naszego z prędkością v . Przyjmijmy, że w tym nowym układzie współrzędnych
Chrzest Polski miał miejsce w punkcie x 1 ' w chwili czasu t 1 ' , zaś Bitwa pod Grunwaldem w
punkcie x 2 ' w chwili t 2 ' .
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
(
x
'
1
=
x
1
−
vt
1
,
x
'
2
=
x
2
−
vt
2
.
2
2
⎛
v
⎞
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
c
c
W nowym układzie współrzędnych oba zdarzenia miałyby zajść w tym samym miejscu, czyli:
.
'
1
x
'
2
x
1
−
vt
1
=
x
2
−
vt
2
,
⎛
v
⎞
2
⎛
v
⎞
2
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
c
c
x
1
−
vt
1
=
x
2
−
vt
2
,
skąd:
(
2
v
=
x
2
−
x
1
.
t
−
t
2
1
Układ, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym miejscu przestrzeni musiałby
poruszać się względem naszego układu z prędkością v opisaną wzorem (2).
(b) Zgodnie z transformacją Lorentza:
v
v
t
−
x
t
−
x
1
c
2
1
2
c
2
2
(
t
'
1
=
,
t
'
2
=
.
2
2
⎛
v
⎞
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
c
c
W nowym układzie współrzędnych oba zdarzenia miałyby zajść w tym samym czasie, czyli:
.
'
1
t
'
2
x =
Wówczas prawe strony równań (1) też będą sobie równe:
t =
Wówczas prawe strony równań (3) też będą sobie równe:
38245158.007.png 38245158.008.png
t
−
v
x
t
−
v
x
1
c
2
1
2
c
2
2
=
,
2
2
⎛
v
⎞
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
c
c
t
−
v
x
=
t
−
v
x
,
1
c
2
1
2
c
2
2
skąd:
(
4
v
=
c
2
t
2
−
t
1
.
x
−
x
2
1
Otrzymana prędkość (4) nowego układu współrzędnych jest większa od prędkości światła w
próżni, czyli układ, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym czasie nie istnieje.
7.2.R. Oznaczmy współrzędną miejsca w którym zaszły na Słońcu dwa wybuchy przez x 1 , a
przedział czasu między nimi t 2 - t 1 = ∆ t = 12 s (gdzie t 1 i t 2 są chwilami czasu, w których
nastąpił odpowiednio pierwszy i drugi wybuch. Przyjmijmy, że w układzie związanym z
rakietą wybuchy na Słońcu nastąpiły w miejscach o współrzędnych x 1 ' oraz x 2 ' , w chwilach
czasu odpowiednio t 1 ' oraz t 2 ' ( t 2 ' - t 1 ' = ∆ t' =13 s ).
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
t
−
v
x
t
−
v
x
1
c
2
1
2
c
2
2
t
'
1
=
,
t
'
2
=
.
2
2
⎛
v
⎞
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
c
c
Wówczas czas między wybuchami w układzie współrzędnych związanym z rakietą:
v
v
t
−
x
−
t
−
x
2
c
2
1
1
c
2
1
t
−
t
t
'
2
−
t
'
1
=
=
2
1
,
2
2
⎛
v
⎞
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
c
c
czyli:
∆
t
'
=
∆
t
,
2
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
c
skąd prędkość, z jaką porusza się rakieta:
∆
t
2
(
v
=
c
1
−
.
∆
t
2
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
'
38245158.009.png 38245158.010.png
 
x
'
1
=
x
1
−
vt
1
,
x
'
2
=
x
1
−
vt
2
.
2
2
⎛
v
⎞
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
c
c
Wówczas odległość między wybuchami w układzie współrzędnych związanym z rakietą:
x
−
x
'
2
=
x
1
−
vt
1
−
x
1
+
vt
2
=
v
(
t
2
−
t
1
)
=
v
∆
t
.
2
2
2
⎛
v
⎞
⎛
v
⎞
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
c
c
c
gdzie v jest prędkością rakiety opisaną równaniem (1).
7.3.R. Niech x 1 i x 2 oznaczają współrzędne cząstek w układzie odniesienia związanym z
tarczą, natomiast x 1 ' i x 2 ' współrzędne cząstek u układzie odniesienia związanym z nimi.
Zgodnie z transformacją Lorentza:
x
'
1
=
x
1
−
vt
,
x
'
2
=
x
2
−
vt
.
2
2
⎛
v
⎞
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
c
c
Wówczas odległość między cząstkami w układzie odniesienia związanym z nimi:
(
x
'
2
−
x
'
1
=
x
2
−
vt
−
x
1
+
vt
=
x
2
−
x
1
.
2
2
⎛
v
⎞
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
1
−
⎝
⎠
c
c
−
gdzie ∆ t jest czasem zmierzonym pomiędzy uderzeniami cząstek o tarczę w układzie
współrzędnych związanym z tarczą. Wstawiając (2) do (1) otrzymamy:
(
2
x
2
x
1
=
v
∆
t
x
'
2
−
x
'
1
=
v
∆
t
=
3
4
m
.
2
⎛
v
⎞
1
−
⎝
⎠
c
7.4.R. Odpowiedź: według obu obserwatorów (pasażera pociągu i turysty stojącego koło
tunelu) czas przejazdu pociągu wynosi:
L
⎛
⎛
v
⎞
2
⎞
⎜
⎟
t
=
0
1
+
1
−
⎝
⎠
.
v
c
⎝
⎠
7.5.R. Odpowiedź:
(a) Czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z Ziemią:
'
1
Odległość między cząstkami w układzie związanym z tarczą:
,
38245158.001.png 38245158.002.png 38245158.003.png 38245158.004.png
t =
L
.
v
Czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z mezonem:
L
⎛
v
⎞
2
t
=
1
−
⎝
⎠
.
v
c
(b)
⎛
v
⎞
2
L atm
=
L
1
−
⎝
⎠
.
.
0
c
7.6.R. Długość L' pręta w układzie K' wynosi:
⎛
v
'
⎞
2
(
L
'
=
L
1
−
⎝
⎠
,
0
c
gdzie v' jest prędkością pręta w układzie K' , a L 0 jego długością spoczynkową. Długość L 0
pręta możemy obliczyć znając jego długość L oraz prędkość 2 u w układzie K :
(
2
L
=
L
.
0
2
⎛
2
u
⎞
1
−
⎝
⎠
c
Prędkość pręta w układzie K' :
(
v
'
=
2
u
−
u
=
u
.
2
u
2
2
u
2
1
−
1
−
c
2
c
2
Podstawiając (2) i (3) do (1) otrzymamy:
⎛
u
⎞
2
1
−
⎝
⎠
c
L
'
=
L
.
⎛
u
⎞
2
1
−
2
⎝
⎠
c
Składowa L 1y jest prostopadła do kierunku
wektora prędkości v układu K 2 , i mierzona z
układu K 1 nie będzie doznawać skrócenia.
Czyli:
(
L +
1
=
L
x
L
2
1 y
(
2
L
y
=
L
2
y
=
L
2
sin
θ
2
,
2
1
7.7.R. Długość L 1 pręta rozkładamy na dwie
składowe L 1 x i L 1y , równoległe odpowiednio do
osi x 1 i y 1 układu K 1 . Wówczas otrzymamy:
.
1
38245158.005.png 38245158.006.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin