ep15r6.pdf

6. Elementy obwodów pr Ģ du sinusoidalnego

123

Wykład XV. WYKRESY WSKAZOWE PR ġ DU I NAPI Ħ CIA SINUSOIDALNEGO.

METODA SYMBOLICZNA ROZWI ġ ZYWANIA OBWODÓW

Wskazy pr Ģ du i napi ħ cia sinusoidalnego. Idea wykresu wskazowego obwodu

Przebieg sinusoidalny mo Ň e by ę reprezentowany przez:

a) wiruj Ģ cy wektor i nieruchom Ģ o Ļ przebiegu czasowego, krócej: nieruchom Ģ „o Ļ czasu” (rys. a),

b) nieruchomy wektor i wiruj Ģ c Ģ o Ļ przebiegu czasowego, krócej: wiruj Ģ c Ģ „o Ļ czasu” (rys. b),

przy czym rzut tego wektora na t ħ o Ļ wyra Ň a warto Ļę chwilow Ģ przebiegu.

a) b)

nieruchoma

„o Ļ czasu”

wiruj Ģ ca „o Ļ czasu”

w poło Ň eniu pocz Ģ tkowym

u ( t )

U mt

u ( t )

wiruj Ģ ca „o Ļ czasu”

w chwili t > 0

u (0)

U m

u (0)

U m

o Ļ zerowej fazy

pocz Ģ tkowej

(

o Ļ zerowej fazy

pocz Ģ tkowej

(

u = 0)

Wektory reprezentuj Ģ ce przebiegi czasowe pr Ģ du i ( t ) i napi ħ cia u ( t ) nazywa si ħ wskazami i oznacza

podkre Ļ lonymi wielkimi literami : wskazy wiruj Ģ ce – jako I mt , U mt ; wskazy nieruchome – I m , U m .

Wskaz nieruchomy danej wielko Ļ ci, to Ň samy – jak wida ę – ze wskazem ruchomym tej wielko Ļ ci w

chwili pocz Ģ tkowej, nazywa si ħ wskazem pocz Ģ tkowym tej Ň e wielko Ļ ci.

Warto Ļę chwilowa przebiegu sinusoidalnego jest okre Ļ lona jednoznacznie przez czas oraz długo Ļę i

poło Ň enie reprezentuj Ģ cego go wskazu pocz Ģ tkowego. Algebraicznemu dodawaniu warto Ļ ci chwi-

lowych pr Ģ dów lub napi ħę sinusoidalnych o tej samej pulsacji odpowiada geometryczne dodawanie

ich wskazów pocz Ģ tkowych.

Wykres przedstawiaj Ģ cy wskazy pocz Ģ tkowe pr Ģ dów i napi ħę obwodu pr Ģ du sinusoidalnego o okre-

Ļ lonej pulsacji nosi nazw ħ wykresu wskazowego tego obwodu. Zazwyczaj na wykresie wskazowym

nie rysuje si ħ osi układu współrz ħ dnych (nie zaznacza si ħ te Ň osi zerowej fazy pocz Ģ tkowej).

W praktyce s Ģ u Ň ywane warto Ļ ci skuteczne pr Ģ dów i napi ħę , a nie ich warto Ļ ci maksymalne. Wska-

zy pocz Ģ tkowe I m i U m – o długo Ļ ciach I m i U m , równych amplitudom przebiegów sinusoidalnych

i ( t ) i u ( t ) – zast ħ puje si ħ dlatego wskazami I i U , o długo Ļ ciach 2 razy krótszych od I m i U m , czyli

równych warto Ļ ciom skutecznym I i U przebiegów i ( t ) i u ( t ). „Zredukowane” w taki sposób wska-

zy pocz Ģ tkowe pr Ģ dów i napi ħę przedstawia si ħ na wykresach wskazowych, nazywaj Ģ c je po prostu

wskazami (bez dodatkowych okre Ļ le ı ).

Przydatno Ļę wykresów wskazowych wynika z pogl Ģ dowego przedstawienia zwi Ģ zków czasowych

jako zale Ň no Ļ ci geometrycznych, co na ogół ułatwia rozwi Ģ zanie obwodu.

Wykresy wskazowe i wykresy trójk Ģ towe dwójników pasywnych

K Ģ t przesuni ħ cia fazowego (przesuni ħ cie

fazowe) dwójnika jest ró Ň nic Ģ faz pocz Ģ t-

kowych jego napi ħ cia i pr Ģ du:

> 0 b)

< 0

Gdy j > 0 ( X > 0; B < 0), to wskaz I opó Ņ -

nia si ħ o k Ģ t

U X

I B

U X

I B

I G

wzgl ħ dem wskazu U (rys. a);

gdy natomiast

U R

y u

< 0 ( X < 0; B > 0), to

wskaz U opó Ņ nia si ħ o k Ģ t Õ

U R

Õ wzgl ħ dem

(o Ļ zerowej fazy

pocz Ģ tkowej)

wskazu I (rys. b).

124

Wykład XV

Na przedstawionych wy Ň ej wykresach wska-

zowych dwójnika – o charakterze: a) induk-

cyjnym, b) pojemno Ļ ciowym – zaznaczono

składowe U R i U X wskazu napi ħ cia U (dla

zast ħ pczego dwójnika szeregowego R, X ), oraz

składowe I G i I B wskazu pr Ģ du I (dla zast ħ p-

czego dwójnika równoległego G, B ).

Wykres z rys. a odnosi si ħ do układów pokazanych na rys. c i d (dwójnik o charakterze indukcyj-

nym). Wykres z rys. b odnosi si ħ do analogicznych układów z pojemno Ļ ciami na miejscu induk-

cyjno Ļ ci, przy czym X < 0 i B > 0 .

Wskazy napi ħ cia oraz pr Ģ du tworz Ģ wraz ze swymi składowymi trójk Ģ ty napi ħ cia i trójk Ģ ty pr Ģ du ,

co lepiej wida ę , gdy te wykresy s Ģ narysowane oddzielnie, z zało Ň eniem zerowej warto Ļ ci pocz Ģ t-

kowej, odpowiednio: k Ģ ta fazowego y i pr Ģ du I w układzie R, X (trójk Ģ t napi ħ cia); k Ģ ta fazowego y u

napi ħ cia U w układzie G, B (trójk Ģ t pr Ģ du). Wykresy takie, dla dwójnika o charakterze indukcyj-

nym (

c) d)

I G G

I R X >0

U R U X

I B B <0

> 0) – jak na rys. a, pokazano ni Ň ej na rysunkach a’ i a”.

i warto Ļ ciom skutecznym

I , I G i I B oraz U , U R i U X odpowiada-

j Ģ składowe czynne i bierne :

- pr Ģ du

a’) a”)

u = 0

cos

i = 0

I G

U X

I b

sin

b I

;

I B

- napi ħ cia

cos

U R

Dziel Ģ c oraz mno ŇĢ c długo Ļ ci bo-

ków trójk Ģ tów napi ħ cia i pr Ģ du,

odpowiednio, przez warto Ļ ci sku-

teczne pr Ģ du i napi ħ cia, otrzymuje

si ħ trójk Ģ ty : impedancji , admitancji

oraz mocy – pokazane obok na ry-

sunku dla dwójnika o charakterze

indukcyjnym (

U b

sin

b U

B < 0

X > 0

Q > 0

> 0).

Przeliczenie długo Ļ ci boków z trójk Ģ tów impedancji lub admitancji, na trójk Ģ t mocy, wyra Ň a si ħ

nast ħ puj Ģ co:

;

Przykład. Wykres wskazowy pr Ģ dów i napi ħę dwój-

nika R , L , C o strukturze szeregowo-równoległej,

wykonany przy zało Ň eniu

U R 3

(

)

sin

U L

U 2 = U 3

I = I 1

tj.

I 2

I = I 1 C

I 3

I 2 I 3

U 1

U R 3 R 3

U U 2 = U 3

R 2

U L L

U 1

K Ģ towi

6. Elementy obwodów pr Ģ du sinusoidalnego

125

Wykonany wykres odpowiada danym: X L = X C = R 3 = 100

, R 2 = 200

. Jak wida ę , układ o tych

< 0), ale przy mniejszej np. trzykrotnie

warto Ļ ci reaktancji X C byłby to dwójnik rezystancyjno-indukcyjny (

> 0).

Uwaga . Wykres wskazowy wykonuje si ħ w skali, tzn. przyjmuje si ħ skale długo Ļ ci wskazów pr Ģ du

i wskazów napi ħ cia (skale pr Ģ du i napi ħ cia). Długo Ļ ci i fazy wskazów napi ħ cia oraz pr Ģ du, dotycz Ģ -

cych poszczególnych elementów idealnych lub gał ħ zi z nich zło Ň onych, s Ģ ze sob Ģ zwi Ģ zane warto-

Ļ ciami impedancji i k Ģ ta przesuni ħ cia fazowego.

Szkicuj Ģ c wykres wskazowy nie okre Ļ la si ħ dokładnie skal pr Ģ du i napi ħ cia, trzeba jednak zacho-

wa ę przybli Ň one proporcje odpowiadaj Ģ ce danym b Ģ d Ņ spodziewanym warto Ļ ciom parametrów

obwodu.

Procedura obliczenia warto Ļ ci impedancji Z i k Ģ ta fazowego

dwójnika (dla podanych wy Ň ej pa-

rametrów układu):

a) impedancja, konduktancja i susceptancja gał ħ zi trzeciej -

100

;

= Z

005

= Z

005

b) konduktancja gał ħ zi drugiej -

= R

005

c) konduktancja, susceptancja i admitancja gał ħ zi drugiej z trzeci Ģ -

= B

005

d) rezystancja i reaktancja gał ħ zi drugiej z trzeci Ģ -

= Y

;

= Y

;

e) rezystancja, reaktancja, impedancja i k Ģ t fazowy dwójnika -

;

100

;

arc

Procedura obliczenia warto Ļ ci skutecznych pr Ģ dów i napi ħę gał ħ ziowych przy zało Ň onym przebiegu

(

)

sin

, [ i 3 ] = A, [

] = s -1 , [ t ] = s, tzn. warto Ļ ciach I 3 = 2 A i

i 3 = 0 (na wykresie – po-

ziome poło Ň enie wskazu I 3 ):

a) impedancja i warto Ļę skuteczna napi ħ cia w gał ħ zi trzeciej -

U V;

b) przesuni ħ cie fazowe i faza pocz Ģ tkowa napi ħ cia w gał ħ zi trzeciej -

100

200

283

arc

;

c) warto Ļę skuteczna i faza pocz Ģ tkowa napi ħ cia w gał ħ zi drugiej -

;

d) impedancja, przesuni ħ cie fazowe, warto Ļę skuteczna i faza pocz Ģ tkowa pr Ģ du w gał ħ zi drugiej -

283

200

;

= Z

;

e) warto Ļę skuteczna i faza pocz Ģ tkowa pr Ģ du dwójnika ( i = i 1 ) -

cos

sin

x I

arc

;

danych jest dwójnikiem rezystancyjno-pojemno Ļ ciowym (

126

Wykład XV

;

f) warto Ļę skuteczna i faza pocz Ģ tkowa napi ħ cia na pojemno Ļ ci -

100

316

;

g) warto Ļę skuteczna i faza pocz Ģ tkowa napi ħ cia dwójnika -

cos

300

sin

100

x U

100

316

arc

;

h) impedancja i przesuni ħ cie fazowe dwójnika -

= I

100

Warto Ļ ci symboliczne pr Ģ du i napi ħ cia sinusoidalnego

Wskazy pr Ģ du i napi ħ cia: I i U , umieszczone na płaszczy Ņ nie

zespolonej, staj Ģ si ħ liczbami zespolonymi (rys. obok – wskaz U

jako liczba zespolona

(o Ļ urojona)

). Nosz Ģ one nazwy warto Ļ ci

skutecznych zespolonych lub warto Ļ ci symbolicznych pr Ģ du i

napi ħ cia. U Ň ywaj Ģ c symbolu liczby urojonej

j Im U

j , zapisuje

si ħ warto Ļ ci symboliczne w postaci wykładniczej, trygonome-

trycznej lub algebraicznej (kartezja ı skiej):

(o Ļ rzeczy-

wista)

Re U

j i

(cos

sin

)

, (6.48a)

j u

(cos

sin

)

, (6.48b)

u – argumenty I i U ;

Re I , Re U – cz ħĻ ci rzeczywiste I i U ;

Im I , Im U – cz ħĻ ci urojone I i U .

Przebiegi czasowe pr Ģ du i napi ħ cia odpowiadaj Ģ cz ħĻ ciom urojonym wskazów zespolonych wiruj Ģ -

cych I mt i U mt (pr Ģ du i napi ħ cia):

i ,

(

)

Im(

)

sin(

)

, (6.49a)

(

)

Im(

)

sin(

)

. (6.49b)

Własno Ļ ci metody symbolicznej rozwi Ģ zywania obwodów pr Ģ du sinusoidalnego

1. Dodawaniu warto Ļ ci chwilowych pr Ģ dów (w w ħ złach) oraz napi ħę (na elementach obwodu)

odpowiada dodawanie ich warto Ļ ci symbolicznych:

= k

(

)

k t

(

)

« = k

; = k

(

)

k t

(

)

« = k

2. Mi ħ dzy warto Ļ ciami symbolicznymi pr Ģ du i napi ħ cia elementów idealnych zachodz Ģ nast ħ puj Ģ -

ce zale Ň no Ļ ci (wykresy ze wskazami „zespolonymi” s Ģ takie same jak ze „zwykłymi”):

a) rezystancja -

I R R , G

I R = G

U R

, (6.50a)

U R

U R = R × I R

, (6.50b)

gdzie:

I = Õ I Õ , U = Õ U Õ – moduły (długo Ļ ci wskazów) I i U ;

6. Elementy obwodów pr Ģ du sinusoidalnego

127

b) pojemno Ļę -

I C X C , B C

I C = jB C

U C

, (6.51a)

U C

U C = - jX C

I C

, (6.51b)

c) indukcyjno Ļę (własna) -

I L X L , B L

U L = jX L

I L

, (6.52a)

U L

, (6.52b)

I L = - jB L

U L

d) indukcyjno Ļę wzajemna -

I 1

, (6.53a)

U 2 M = jX M

I 1

X 21 = X M

analogicznie

I 1

. (6.53b)

U 2 M

(6.54a)

i posta ę zespolon Ģ odmiany impedancyjnej prawa Ohma

. (6.54b)

4. Układowi równoległemu G , B przypisuje si ħ admitancj ħ zespolon Ģ

(6.55a)

i posta ę zespolon Ģ odmiany admitancyjnej prawa Ohma

= . (6.55b)

5. Dla okre Ļ lonego dwójnika zachodzi zwi Ģ zek

, (6.56)

z czego wynikaj Ģ nast ħ puj Ģ ce zale Ň no Ļ ci mi ħ dzy elementami układów zast ħ pczych R , X i G , B :

. (6.56a, b, c, d)

6. Przy poł Ģ czeniu szeregowym dwójników pasywnych sumuje si ħ oddzielnie rezystancje i reak-

tancje albo impedancje zespolone (nie wolno sumowa ę modułów impedancji zespolonych!):

= k

, = k

; = k

. (6.57a, b, c)

7. Przy poł Ģ czeniu równoległym dwójników pasywnych sumuje si ħ oddzielnie konduktancje i su-

sceptancje albo admitancje zespolone (nie wolno sumowa ę modułów admitancji zespolonych!):

= k

, = k

. (6.58a, b, c)

8. Wszystkie twierdzenia i metody rozwi Ģ zywania obwodów, dotycz Ģ ce teorii obwodów pr Ģ du

stałego (wielko Ļ ci rzeczywiste stałe: U , I , E , I Ņ r , R , G ), zachowuj Ģ wa Ň no Ļę w analizie stanów

ustalonych obwodów pr Ģ du sinusoidalnego przy u Ň yciu liczb zespolonych (wielko Ļ ci zespolone:

U , I , E , I Ņ r , Z , Y ).

3. Układowi szeregowemu R , X przypisuje si ħ impedancj ħ zespolon Ģ

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: