ep09r4.pdf

4. Rozwi Ģ zywanie obwodów pr Ģ du stałego

Wykład IX. RÓWNANIA RÓWNOWAGI WZGL Ħ DEM NAPI ĦĘ .

METODA OCZKOWA. METODA W Ħ ZŁOWA

Równania równowagi wzgl ħ dem napi ħę

Zakładaj Ģ c, Ň e obwodzie nie wyst ħ puj Ģ gał ħ zie bezrezystancyjne (tzn. s Ģ tylko takie, jakie pokazano

poni Ň ej na rysunku, przy czym E k oraz I Ņ r.k mog Ģ by ę równe zeru), zapisano zale Ň no Ļ ci (4.10a) i

(4.10b):

E k R k ; G k I k

, k = 1, .. , g ,

I Ņ r.k

U k

w nast ħ puj Ģ cej postaci:

(

)

, k = 1, .. , g , (4.15a)

, (4.15b)

przy czym konduktancja k -tej gał ħ zi

, za Ļ macierz konduktancji gał ħ ziowych

[ ]

diag

...

]

. (4.15c)

W zwi Ģ zku z tym, wyra Ň enia (4.7c) i (4.7d):

(

)

Ņ r

, i = 1, ... , m ,

-l

Ņ r

. 1

(

)

(

)

przybieraj Ģ formy:

(

)

(

)

Ņ r

, i = 1, ... , m , (4.16a)

(

)

(

)

Ņ r

. 1

(4.16b)

(

)

(

)

albo

(

-l

)

, (4.16c)

gdzie

= -l

Ņ r

. 1

jest wektorem wydajno Ļ ci Ņ ródeł pr Ģ dowych do w ħ złów (4.12d).

(

)

(

)

d 1 0 ,

tworz Ģ razem układ g równa ı z g niewiadomymi, którymi s Ģ napi ħ cia gał ħ ziowe (równania obwodu

wzgl ħ dem napi ħę ). Równania te mo Ň na zapisa ę ł Ģ cznie, w dwóch równowa Ň nych postaciach, jako:

- pełne równanie równowagi wzgl ħ dem napi ħę

× =

(

)

, (4.17a)

Ņ r

. 1

(

)

(

)

[

Wyra Ň enia (4.16b) lub (4.16c), wraz z napi ħ ciowym równaniem równowagi (4.9b):

n g g

Wykład IX

-l

(

)

albo

....

, (4.17b)

....

Ņ r

(

)

(

)

- skrócone równanie równowagi wzgl ħ dem napi ħę

, (4.18)

.....

......

gdzie:

- wektor zast ħ pczych Ņ ródłowych pr Ģ dów gał ħ zi i pseudogał ħ zi

Ņ r

.....

, (4.19a)

Ņ r

(

)

Ņ r

- wektor zast ħ pczych Ņ ródłowych pr Ģ dów gał ħ ziowych

Ņ r

, (4.19b)

- macierz konduktancji gał ħ ziowych w w ħ złach (skierowanych od w ħ złów)

, (4.19c)

m g

m g g g

- wektor zast ħ pczych wydajno Ļ ci Ņ ródeł do w ħ złów , tj. zast ħ pczych Ņ ródłowych pr Ģ dów dopły-

waj Ģ cych do w ħ złów (wydawanych do w ħ złów)

(

)

(

)

Ņ r

(

)

. (4.19d)

(

)

(

)

albo

(

)

Ņ r

. (4.19e)

(

)

(

)

Wektor I Ņ r ’ zło Ň ony z g elementów odnosi si ħ do zast ħ pczych

gał ħ zi o postaci pr Ģ dowej (rys. obok). Wyra Ň a on warto Ļ ci pr Ģ -

dów Ņ ródłowych gał ħ zi danych w postaci pr Ģ dowej albo otrzy-

manych po sprowadzeniu gał ħ zi o postaci napi ħ ciowo-pr Ģ dowej

lub napi ħ ciowej do postaci pr Ģ dowej.

Trzeba wyja Ļ ni ę , Ň e:

- elementy macierzy G i s Ģ konduktancjami k -tych gał ħ zi, przy czym opatrujemy je znakiem

„plus”, je Ļ li pr Ģ d I k wypływa z i -tego w ħ zła, a znakiem „minus”, je Ļ li pr Ģ d I k dopływa do i -tego

w ħ zła,

- elementy wektora I w ’ s Ģ zast ħ pczymi Ņ ródłowymi pr Ģ dami, dopływaj Ģ cymi do kolejnych w ħ -

złów, tzn. sumami zast ħ pczych Ņ ródłowych pr Ģ dów gał ħ ziowych i pr Ģ dów pseudogał ħ zi, dopływa-

j Ģ cych do w ħ złów (zgodnie z umow Ģ , napi ħ cia Ņ ródłowe i pr Ģ dy Ņ ródłowe maj Ģ taki sam zwrot jak

pr Ģ dy w rezystancjach gał ħ ziowych).

I k ’ G k

I Ņ r.k ’

U k

4. Rozwi Ģ zywanie obwodów pr Ģ du stałego

Przykład. Obwód – z poprzednich przykładów – jest pokazany na rys. a; graf obwodu – na rys. b.

Na schemacie obwodu zaznaczono napi ħ cia gał ħ ziowe. Obliczane s Ģ ich warto Ļ ci, a nast ħ pnie –

warto Ļ ci pr Ģ dów gał ħ ziowych.

a) b)

I 1 10

I 2 10

I 4

140 V

U 1

I 3

U 2

180 V

U 4

24 W

U 3

4,6 A

W ħ zły niezale Ň ne ( 1 , 2 ) i oczka niezale Ň ne (1, 2) wybrano tak, jak poprzednio. ń ródło pr Ģ dowe i

gał ĢŅ z pr Ģ dem I 4 s Ģ jednym obiektem (w obwodzie nie ma pseudogał ħ zi, wi ħ c h = 0).

I. Wyznaczono macierze incydencji, macierz konduktancji gał ħ ziowych oraz wektory Ņ ródłowych

napi ħę i pr Ģ dów gał ħ ziowych:

l g

d g

(

)

10 0 0 0

140

10 0 0

I g

g G ´

24 0

Ņ r

0 0

(

)

180

4,6

0 0 0

Ze wzoru (4.19b) wyznaczono wektor zast ħ pczych Ņ ródłowych pr Ģ dów gał ħ ziowych

140

Ņ r

180

4,6

22,6

Zapisano równanie równowagi w pełnej formie (4.17b):

22,6

Wykład IX

Po wykonaniu działa ı (wyniki mo Ň na odczyta ę ze schematu, zgodnie z podanymi wy Ň ej regułami):

G g

I m

22,6

otrzymano równanie w skróconej formie (4.18):

132

22,6

, którego rozwi Ģ zaniem jest

132

179

II. Zapisano równania równowagi – wg schematu obwodu – na podstawie wzorów: (4.16a) i (4.9a),

pami ħ taj Ģ c o przeciwnych zwrotach pr Ģ du i napi ħ cia gał ħ ziowego (sumowanie napi ħę przy prze-

ciwnym zwrocie obiegu oczka):

140

180

U .

Równanie macierzowe, scalaj Ģ ce powy Ň szy układ równa ı , odpowiada podanemu wy Ň ej równaniu

skróconemu.

III. Obliczono warto Ļ ci pr Ģ dów gał ħ ziowych, wg wzoru (4.15a):

I 1 = G 1 ( U 1 + E 1 ) = 0,8 A; I 2 = G 2 U 2 = 4,7 A; I 3 = G 3 U 3 = 5,5 A; I 4 = G 4 ( U 4 + E 4 ) = 0,1 A.

Metoda oczkowa (dla obwodów ze Ņ ródłami napi ħ ciowymi)

Przedmiotem rozwa Ň a ı s Ģ obwody liniowe pr Ģ du stałego, w

których nie ma idealnych Ņ ródeł pr Ģ dowych, tzn. nie wyst ħ puj Ģ

pseudogał ħ zie, a wszystkie aktywne gał ħ zie (gał ħ zie zast ħ pcze)

maj Ģ posta ę napi ħ ciow Ģ (rys. obok).

Dla ujednolicenia zapisu wszystkie pr Ģ dy gał ħ ziowe i Ņ ródłowe napi ħ cia gał ħ ziowe s Ģ traktowane

jako pr Ģ dy oraz Ņ ródłowe napi ħ cia zast ħ pczych gał ħ zi o postaci napi ħ ciowej.

Umy Ļ liwszy sobie takie pr Ģ dy I ol ( l = 1, ... , n ), zwane pr Ģ dami oczkowymi , które płyn Ģ wokół n

oczek niezale Ň nych, przedstawia si ħ pr Ģ dy gał ħ ziowe jako sumy lub ró Ň nice niektórych z tych pr Ģ -

dów, stosownie do incydencji oraz zwrotów gał ħ zi i oczek:

I k ’ E k ’ R k

U k

, (4.20a)

d lk = 1

gdzie wektor pr Ģ dów oczkowych

[ ]

I kl = I k > 0 R k

I o

ol n

1 . (4.20b)

I ol

a wyznacza si ħ wg tych sa-

mych reguł, co elementy macierzy incydencji

(chodzi o incy-

dencj ħ oczek i gał ħ zi oraz o zwrot obiegu oczka i zwrot incy-

dentnej z nim gał ħ zi). Wyja Ļ niono to obok na rysunku.

I kl = I ol =

I ol ;

kl = 1

kl =

Elementy macierzy przekształcenia

4. Rozwi Ģ zywanie obwodów pr Ģ du stałego

okre Ļ la

przynale Ň no Ļę oczek do gał ħ zi. Przestawione s Ģ wi ħ c wska Ņ niki elementów, co oznacza, Ň e ma-

cierz

okre Ļ la przynale Ň no Ļę gał ħ zi do oczek. Macierz przekształcenia

jest macierz Ģ transponowan Ģ macierzy

, (4.20c)

zatem

. (4.20d)

Napi ħ ciowe równanie równowagi (4.11b): n g g g g

× × = ×

R I

, po podstawieniach: I = I ’ ,

n g g

E = E ’ i (4.20d), przyjmuje posta ę :

, (4.21a)

co mo Ň na zapisa ę jako

, (4.21b)

gdzie:

- macierz rezystancji oczkowych (własnych i wzajemnych)

= × ×

, (4.21c)

n g g g g n

n g g n

n n

- okre Ļ lona wzorem (4.12c) macierz rezystancji gał ħ ziowych w oczkach

= ×

, (4.21d)

n g

n g g g

- okre Ļ lony wzorem (4.13e) wektor zast ħ pczych Ņ ródłowych napi ħę gał ħ ziowych

1 '

Ņ r

. (4.21e)

- okre Ļ lony wzorem (4.13f) wektor Ņ ródłowych napi ħę (sem) oczkowych

n o

. (4.21f)

Dzi ħ ki przekształceniu (4.20a), liczba rozwi Ģ zywanych równa ı obwodu zmniejsza si ħ z g równa ı

równowagi ( g – liczba gał ħ zi) do n równa ı oczkowych ( n – liczba oczek niezale Ň nych).

Macierz rezystancji oczkowych (symetryczna)

[ ]

R o

n n

, (4.22)

n n

l ), rezystancji wzajem-

nych oczek R jl = R lj , których warto Ļ ci bezwzgl ħ dne s Ģ równe warto Ļ ciom rezystancji gał ħ zi wcho-

dz Ģ cych jednocze Ļ nie w skład j -tych i l -tych oczek, natomiast znaki zale ŇĢ od zgodno Ļ ci obiegania

tych wspólnych rezystancji w rozwa Ň anych oczkach, tzn. przy zgodnym zwrocie obiegu w oczkach

j -tym i l -tym R jl = R lj s Ģ dodatnie, a przy przeciwnym – ujemne.

Warto przypomnie ę , Ň e reprezentantami wybranych oczek niezale Ň nych obwodu s Ģ oczka podsta-

wowe grafu obwodu , tworzone przez konary drzewa i jego ci ħ ciwy. Pr Ģ dy oczkowe s Ģ wobec tego

pr Ģ dami w gał ħ ziach obwodu reprezentowanych przez ci ħ ciwy. Pr Ģ dy w gał ħ ziach obwodu repre-

zentowanych przez konary s Ģ natomiast liniow Ģ kombinacj Ģ pr Ģ dów oczkowych, zwykle sum Ģ

dwóch z nich, albo ró Ň nic Ģ .

Macierz incydencji

gdzie: j , l – numery oczek,

składa si ħ z nast ħ puj Ģ cych elementów:

- le ŇĢ cych na głównej przek Ģ tnej ( j = l ) rezystancji własnych oczek R jj , które s Ģ sumami rezy-

stancji gał ħ zi wchodz Ģ cych w skład j -tych oczek,

- le ŇĢ cych poza przek Ģ tn Ģ główn Ģ , symetrycznie po obu jej stronach ( j

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: