Matematyka-odp-ZR.pdf

(156 KB) Pobierz
untitled
Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2009
W kluczu sà prezentowane przyk∏adowe prawid∏owe odpowiedzi. Nale˝y równie˝ uznaç odpowiedzi ucznia, jeÊli sà
inaczej sformu∏owane, ale ich sens jest synonimiczny wobec schematu, oraz inne odpowiedzi, nieprzewidziane w klu-
czu, ale poprawne.
Numer
zadania
Etapy rozwiàzywania zadaƒ
Liczba
punktów
1.
Dokonanie niewielkiego post´pu.
Sprowadzenie uk∏adu równaƒ do równania z jednà niewiadomà.
yx
yy
1
*
3
362
-=
=- +
-+-
2
yy
3
Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.
Obliczenie zmiennej y .
y 0
1
H
i yy
-+=- lub
2
3
y 0 i yy
<
2
+=-
3
y 3
=
y 1
=-
Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà niewielkie usterki.
Obliczenie zmiennej x .
x 330
1
=- =
lub
x 312
=--=
x 0
=
lub x 2
= lub x 2
=-
Rozwiàzanie bezb∏´dne.
x 0
= , y 3
= lub x 2
= , y 1
=- lub x 2
=- , y 1
=-
1
2.
Dokonanie niewielkiego post´pu.
Wykorzystanie zale˝noÊci mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kàta.
sin
1
_
1
+
x
i
c
cos
1
x
-
tg
x
m
+ =
1
0
_
1
+
sin
x
i
c
1
co sin
x x
m
=-
1
3
Dokonanie istotnego post´pu.
Sprowadzenie równania do równania z jednà niewiadomà.
co sin x
1
1
-
2
x
1
=-
3
cos x x
2
1
cos
=-
3
1
cos x
=-
3
Pokonane zasadniczych trudnoÊci zadania.
Uwzgl´dnienie za∏o˝eƒ i obliczenie sin x .
sin x 1
1
2
=- =
1
8
9
9
22
sin x
=
3
Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.
Obliczenie
1
sin cos
x
+
x
.
sin cos
x
+=
x
22
-=
1
22 1
-
3
3
3
www.operon.pl
1
3
-
193463480.019.png 193463480.020.png 193463480.021.png 193463480.022.png
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Numer
zadania
Etapy rozwiàzywania zadaƒ
Liczba
punktów
Rozwiàzanie bezb∏´dne.
OkreÊlenie znaku liczby sin cos
1
x
+
x
.
22 1
3
-
.
06 0
,>
3.
Dokonanie niewielkiego post´pu.
Zauwa˝enie, ˝e (, )
1
Px 0
=
i zapisanie odpowiednich równoÊci.
=
PC k PA
$
=
$
PC
=-
7
40
,
A i
PD
=-
7
62
,
A
PA
=-
7
10
,
A i
PB
=-
7
21
,
A
Dokonanie istotnego post´pu.
Zapisanie równoÊci pozwalajàcych na wyznaczenie k oraz x .
(
1
kPA k x
$
=
7
1
-
),
0
A
kPB k x k
$
=
7
(
2
-
),
A
k
(
1
-=- i (
x
)
4
x
k
2
-=-
x
)
6
x
Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.
Rozwiàzanie uk∏adu równaƒ.
k = , x 2
1
=-
Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.
Obliczenie d∏ugoÊci promienia okr´gu i wspó∏rz´dnych punktu P
r
1
2 2
=-+-=
_
21 10 2
i
_
i
P
=- _ i
20
,
Rozwiàzanie bezb∏´dne.
Zapisanie równania okr´gu.
(
1
x
2 2
++=
2
)
y
2
4.
Dokonanie niewielkiego post´pu.
Obliczenie log 100 i sprowadzenie logarytmów do tej samej podstawy.
log
1
a
x
+
log
x H
a 2
1
log
a
=
x
log
x
a
1
log
x
+
H
2
a
log
x
a
Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.
Dokonanie odpowiedniego podstawienia i sprowadzenie nierównoÊci do postaci
nierównoÊci kwadratowej.
log
1
k
=
a
x
1
k
+
k
H
2
k
2
+
12
H
k
, gdy˝ k 0
Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.
Wykorzystanie wzoru skróconego mno˝enia do przekszta∏cenia nierównoÊci.
k 10
1
_ i
2
H
Rozwiàzanie bezb∏´dne.
Zauwa˝enie, ˝e dla ka˝dej liczby k spe∏niajàcej warunki zadania liczba k 1
1
_ i
2
jest zawsze
2
nieujemna, zatem log x 10
a
_
-
i
H
.
NierównoÊç log
a
x
+
log
x H
a 2
jest zatem prawdziwa.
2
www.operon.pl
PD k PB
193463480.001.png 193463480.002.png 193463480.003.png 193463480.004.png 193463480.005.png
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Numer
zadania
Etapy rozwiàzywania zadaƒ
Liczba
punktów
5.
Dokonanie istotnego post´pu.
Zapisanie d∏ugoÊci spirali.
....
1
Lr
=+ ++
rr r
1
r
1 9
r
2
2
Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.
Zauwa˝enie, ˝e wyrazy sumy tworzà ciàg geometryczny o ilorazie 2
1 i pierwszym wyrazie r .
1
Rozwiàzanie bezb∏´dne.
Obliczenie sumy ciàgu geometrycznego.
1
10
1
1
-
cm
1
-
1
2
1024
1023
l
=
r
r
$
=
r
r
$
=
r
r
1
1
512
1
-
2
2
6.
Dokonanie niewielkiego post´pu.
OkreÊlenie dzielników wyrazu wolnego: - , 1 , - , 2 , - , 4 .
Sprawdzenie, ˝e jednym z pierwiastków wielomianu jest liczba 1
1
Dokonanie istotnego post´pu.
Wykonanie dzielenia wielomianu przez dwumian x - i zapisanie wielomianu w postaci
iloczynu.
() ( )(
1
Wx x
3 2
=- + - -
1
x x x
2
2 4
)
Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.
Roz∏o˝enie wyra˝enia x
1
3
2
+-- na czynniki.
224
x
x
3
2 2
+ - -= +- +=+ - +
x
224
x
x
x x
(
22 2 2 2 2
) (
x
) (
x
)(
x
)(
x
)
Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.
OkreÊlenie pierwiastków wielomianu: 1 , - , 2 , - .
1
Rozwiàzanie bezb∏´dne.
Obliczenie sumy odwrotnoÊci pierwiastków wielomianu.
1
1
-+ - = – liczba wymierna
1
1
1
1
2
2
2
2
7.
Dokonanie niewielkiego post´pu.
Zapisanie odpowiedniej równoÊci, wynikajàcej z faktu, ˝e punkt (, )
1
Axy
=
le˝y w tej samej
odleg∏oÊci od prostej i punktu P .
2
y
+
1
1
2
(
0
-+ - =
x
2
c m
y
2
2
01
+
Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.
Podniesienie obu stron równania do kwadratu i wykonanie redukcji wyrazów podobnych.
x
1
2
-=
y 20
Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.
OkreÊlenie wzoru odpowiedniej krzywej.
y
1
=
1 2
x
Rozwiàzanie bezb∏´dne.
Zapisanie wzoru funkcji.
()
1
fx
=
1
x
2
2
www.operon.pl
3
2
193463480.006.png 193463480.007.png 193463480.008.png 193463480.009.png 193463480.010.png 193463480.011.png 193463480.012.png
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Numer
zadania
Etapy rozwiàzywania zadaƒ
Liczba
punktów
8.
Dokonanie niewielkiego post´pu.
1
C
b
a
A
b
c
B
Wykorzystanie wzoru cosinusów.
s – d∏ugoÊç Êrodkowej
2
a
a
s
2
=
cm
+- b
c
2
2
$ $ $
c
cos
2
2
s
2
2 2
=+- b
a
c c
cos
4
Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.
Obliczenie cos b .
1
bca a
2
2 2
=+- b
2
cos
acb
2
2
+-
2
2
cos
b
=
ac
Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.
Dokonanie odpowiedniego podstawienia i obliczenie s
1
J
N
a
2
cab
2
+-
2
2
s
2
=+-
c c
2
$
K
O
4
2
ca
L
P
2
2
2
22
c
+-
ba
4
s
2
=
Rozwiàzanie bezb∏´dne.
,
1
s
=
05 2 2
c
2
+
b a
2
-
2
9.
Dokonanie niewielkiego post´pu.
Zapisanie sumy cyfr liczby a
...
1
a 24681012 98100
=
S 246810121416 98100
=++++++++++++ +++++
...
Dokonanie istotnego post´pu.
Pogrupowanie sk∏adników w odpowiedni sposób.
(
1
= +++ + ++++ + + ++++ + +
++ ++++ + +
) (
7
)
A
8
_
i
B
...
8
_
i
B
Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.
Obliczenie sumy cyfr z wykorzystaniem wzoru na sum´ ciàgu arytmetycznego.
(
1
S 20 20 5 20 10
=+++++++ +=
7
) (
) ... (
20 45
)
A
1
=
10 20 5 10
$
+ + + +
(
...
45 1 201
)
+ =
+
545 9 426
$
=
Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.
Obliczenie sumy cyfr liczby 426 i stwierdzenie, ˝e jest to liczba podzielna przez 3 , ale
niepodzielna przez 9
1
Rozwiàzanie bezb∏´dne.
JeÊli liczba a by∏aby kwadratem pewnej liczby, musia∏aby dzieliç si´ przez 39
1
= . Liczba a
dzieli si´ przez 3 , a nie dzieli si´ przez 9 , nie jest wi´c kwadratem liczby naturalnej.
2
4
www.operon.pl
S 2468 02468 5 02468 10
02468 45 1
+
2
193463480.013.png 193463480.014.png
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Numer
zadania
Etapy rozwiàzywania zadaƒ
Liczba
punktów
10.
Dokonanie niewielkiego post´pu.
OkreÊlenie warunków istnienia dwóch ró˝nych pierwiastków dodatnich.
>
1
Z
Δ
0
xx
xx
+
>
>
0
0
[
1 2
12
]
$
\
Dokonanie istotnego post´pu.
OkreÊlenie, kiedy wyró˝nik jest wi´kszy od zera
(
1
Δ
2
=-=- +
>
k
9
k
3
)(
k
3
)
Δ
0 dla ( , ) ( , )
k
!
--
3
33
,
3
Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.
OkreÊlenie, kiedy suma i iloczyn pierwiastków sà wi´ksze od zera – wykorzystanie wzorów
Vi¯te’a.
>
1
xx
1
+
2
0
+
- +
(
k
1 0
) >
+
k
<
-
1
xx
$
H
005 50
+
,( )>
k
+
+
k
>
-
5
12
Stàd (, )
k
!
--
51
Rozwiàzanie zadania do koƒca – w rozwiàzaniu wyst´pujà drobne usterki.
OkreÊlenie iloczynu odpowiednich zbiorów.
[( , ) ( , )] ( , )
1
k
!
--
3
33
,
3
+
--
51
k
!
- _ i
53
,
Rozwiàzanie bezb∏´dne.
(, )
1
k
!
--
53
11.
Dokonanie niewielkiego post´pu.
1
D
C
K
E
L
A
F
B
Uwzgl´dnienie w∏asnoÊci czworokàta opisanego na okr´gu.
AD
+=+
CB
AB
CD
Dokonanie istotnego post´pu.
OkreÊlenie d∏ugoÊci odcinka LK .
1
LK
=
AB
+
DC
=
AD
+
CB
=
8
2
2
Pokonanie zasadniczych trudnoÊci zadania.
Wykorzystanie zale˝noÊci mi´dzy polami odpowiednich czworokàtów i bokami czworokàta.
1
P
=
5
1
05 8
,
`
+
DC
j
$
DE
=
3
5
05 8
,
`
+
AB
j
$
FE
DE
=
EF
– z twierdzenia Talesa
AB
+
DC
=
16
&
DC
= -
16
AB
www.operon.pl
5
]
P
3
193463480.015.png 193463480.016.png 193463480.017.png 193463480.018.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin