CAŁKI NIEOZNACZONE.pdf

(157 KB) Pobierz
CAŁKI NIEOZNACZONE
CAŁKI NIEOZNACZONE
1. C AŁKA NIEOZNACZONA
Poszukiwanie funkcji F(x), gdy jest jej pochodna F'(x)=f(x), czyli działanie
odwrotne do róŜniczkowania nazywa się całkowaniem, a funkcję szukaną
F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji f(x).
Całkowanie jest działaniem odwrotnym względem róŜniczkowania
(wyznaczania pochodnej) i nie jest działaniem jednoznacznym, co określa
następujące twierdzenie, zwane twierdzeniem podstawowym o funkcjach
pierwotnych:
TWIERDZENIE 1.1 JeŜeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w
przedziale X, to funkcja F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest równieŜ
funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X.
Dowód. Istotnie, dla kaŜdego x
Î X i kaŜdej stałej C, mamy
[F(x) + C]' = F'(x) = f(x),
zatem funkcja F(x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X. Z
drugiej strony, jeŜeli funkcje F(x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi funkcji f(x)
w przedziale X, czyli
F'(x) = f(x) i
G'(x) = f(x)
to
"
x
Î
X
[
F
(
x
)
-
G
(
x
)]'
=
0
63
Oznacza to, Ŝe funkcja F(x) i G(x) w przedziale X jest wielkością stałą, czyli
G(x) = F(x)+C 0 .
Zatem, jeŜeli funkcja F(x) jest funkcja pierwotną funkcji f(x) w przedziale X,
to suma
F(x) + C,
gdzie C jest dowolną stałą, przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji
f(x) w tym przedziale i tylko takie funkcje.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w przedziale X nazywamy
całką nieoznaczoną funkcji f(x) w tym przedziale i oznaczamy symbolem
(1.1)
∫
f )
(
x
dx
.
Funkcję f(x) nazywamy funkcją podcałkową, a literę x nazywamy zmienną
całkowania. Z podstawowego twierdzenia o funkcjach pierwotnych wynika,
Ŝe
(1.2)
∫
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
+
C
,
gdzie F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x), a C jakąkolwiek stałą.
Z definicji całki nieoznaczonej wynika, Ŝe funkcja pierwotna F(x) określona
jest w dziedzinie funkcji podcałkowej f(x).
64
PRZYKŁAD 1.1. Znajdziemy funkcję pierwotną funkcji f(x)=x 2 , której wykres
przechodzi przez punkt (-1,1).
Obliczając całkę nieoznaczoną z funkcji podcałkowej f(x)=x 2 , otrzymamy
zbiór
∫
x
2
dx
=
1
x
3
+
C
3
funkcji pierwotnych. PoniewaŜ szukana funkcja pierwotna
F
(
x
)
=
1
x
3
+
C
3
0
ma przechodzić przez punkt (-1,1), zatem musi być spełniony warunek
F(-1) = 1,
czyli
1
=
1
(
-
1
3
+
C
3
0
skąd
C
=
4
0
3
Tak więc
F
(
x
)
=
1
x
3
+
4
3
3
jest szukaną funkcją pierwotną.
65
73984005.007.png 73984005.008.png
W tablicy podano całki nieoznaczone funkcji elementarnych.
NaleŜy podkreślić, Ŝe wzory podane w tablicy są prawdziwe w kaŜdym
przedziale ciągłości odpowiedniej funkcji podcałkowej.
Lp.
Całka
Uzasadnienie
1
∫
0
dx
=
C
[
C
]'
=
0
2
∫
dx
=
x
+
C
[
x
+
C
]
'
=
1
3
∫
x
x
dx
=
1
x
x
+
1
+
C
(
a
¹
-
1
1
x
x
+
1
+
C
'
=
x
x
a
+
1
a
+
1
4
∫
1
dx
=
ln
|
x
|
+
C
[ln
|
x
|
+
C
]'
=
a
x
x
'
a
x
a
x
5
∫
a
x
dx
=
+
C
(
a
>
0
a
¹
1
+
C
=
a
x
ln
a
ln
a
6
∫
e
x
dx
=
e
x
+
C
[
e
x
+
C
]'
=
e
x
[
-
cos
x
+
C
]'
=
sin
x
∫
sin
xdx
=
-
cos
x
+
C
7
∫
cos
xdx
=
sin
x
+
C
[sin
x
+
C
]'
=
cos
x
8
∫
1
dx
=
-
ctgx
+
C
[
-
ctgx
+
C
]'
=
1
sin
2
x
sin
2
x
9
1
∫
1
[
tgx
+
C
]'
=
dx
=
tg
+
C
cos
2
x
cos
2
x
10
1
dx
[
arctgx
+
C
]'
=
∫
=
arctgx
+
C
1
+
x
2
1
+
x
2
11
-
1
(
-
1
dx
[
arcctgx
+
C
]'
=
∫
=
arcctgx
+
C
1
+
x
2
1
+
x
2
12
1
[arcsin
x
+
C
]'
=
dx
∫
=
arcsin
x
+
C
1
-
x
2
13
2
1
-
x
-
1
[arccos
x
+
C
]'
=
(
-
1
dx
∫
=
arccos
x
+
C
1
-
x
2
14
1
-
x
2
66
73984005.009.png 73984005.010.png 73984005.001.png 73984005.002.png 73984005.003.png
PRZYKŁAD 1.2. Obliczając pochodną [ ln |x| + C]' dla x>0 otrzymujemy
∫
dx
=
ln
|
x
|
+
C
x
natomiast dla x<0
[ln
|
x
|]'
=
[ln(
-
x
)]'
=
(
-
1
=
1
,
-
x
x
czyli
[ln
|
x
|
+
C
]'
=
1
x
PRZYKŁAD 1.3. Mamy
∫
x
4
dx
=
1
x
5
+
C
dla
x
Î
(
-¥
,
+¥
),
5
8
x
∫
8
x
dx
=
+
C
dla
x
Î
(
-¥
,
+¥
),
ln
8
∫
x
dx
=
2
x
x
+
C
dla
x
Î
(
0
+¥
),
∫ ∫
dx
=
x
-
2
dx
=
1
x
-
2
+
1
+
C
=
3
3
x
+
C
dla
x
Î
(
-¥
,
0
È
(
0
+¥
),
3
3
-
2
+
1
3
x
2
3
∫
x
2
3
x
dx
=
∫
x
7
dx
=
1
x
7
+
1
+
C
=
x
10
+
C
dla
x
Î
(
-¥
,
+¥
).
3
3
3
3
7
+
1
10
3
2. P ODSTAWOWE WŁASNOŚCI CAŁKI NIEOZNACZONEJ
Podamy obecnie podstawowe własności całki nieoznaczonej.
1. JeŜeli funkcja f(x) ma w pewnym przedziale funkcję pierwotną, a k jest
dowolną stałą liczbą od zera, to
(2.1)
∫
kf
(
x
)
dx
= ∫
k
f
(
x
)
dx
(
k
¹
0
).
67
3
73984005.004.png 73984005.005.png 73984005.006.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin