probabilistyka-def-tw-wzory.pdf

(131 KB) Pobierz
probabilistyka-def-tw-wzory
Probabilistyka
Definicje, twierdzenia, własności, wzory
55411529.002.png 55411529.003.png
1. ELEMENTY KOMBINATORYKI
SILNIA :
Definicja . Przyjmujemy
0
=
1
Î
n
!
=
1
×
2
×
...
×
(
n
-
1
×
n
n
N
PERMUTACJE bez powtórzeń :
Definicja . Permutacją zbioru n -elementowego nazywać będziemy każdy
n -elementowy, różnowartościowy ciąg elementów tego zbioru.
Liczbę wszystkich permutacji zbioru n -elementowego oznaczać będziemy
symbolem P n .
Twierdzenie. Liczba wszystkich permutacji zbioru n -elementowego wyraża
się wzorem
P n
=
n
KOMBINACJE bez powtórzeń :
Definicja . Kombinacją k -elementową zbioru n -elementowego (
k
£
n
)
nazywać będziemy każdy k -elementowy podzbiór tego zbioru.
Liczbę wszystkich kombinacji z n -elementów po k oznaczać będziemy
symbolem
C .
Twierdzenie. Liczba wszystkich kombinacji z n -elementów po k wyraża się
wzorem
C
k
n
=
n
!
def
=
n
(
n
-
k
)!
×
k
!
k
k
n
55411529.004.png
WARIACJE bez powtórzeń :
Definicja . Wariacją (bez powtórzeń) k -elementową zbioru n -elementowego
(
k
£
n
) nazywać będziemy każdy k -elementowy, różnowartościowy ciąg
elementów tego zbioru.
Liczbę wszystkich wariacji (bez powtórzeń) z n -elementów po k oznaczać
będziemy symbolem
V .
k
n
Twierdzenie. Liczba wszystkich wariacji (bez powtórzeń) z n -elementów po
k wyraża się wzorem
V n
=
n
!
k
.
(
n
-
)!
WARIACJE z powtórzeniami :
Definicja. Wariacją (z powtórzeniami) k -elementową zbioru n -elementowego
nazywać będziemy każdy k -elementowy ciąg elementów tego zbioru.
Liczbę wszystkich wariacji (z powtórzeniami) z n -elementów po k oznaczać
będziemy symbolem
V .
k
n
Twierdzenie. Liczba wszystkich wariacji (z powtórzeniami) z n -elementów
po k wyraża się wzorem
V
k
=
n
k
.
n
55411529.005.png
2. PRAWDOPODOBIEŃSTWO
ZDARZENIA .
Niech będą dane:
D -
doświadczenie losowe
( realizacja określonego zespołu warunków, wraz z góry
określonym zbiorem wyników )
w 1 , w 2 , ... - zdarzenia elementarne
( elementarne, wzajemnie wykluczające się wyniki danego
doświadczenia )
W
-
przestrzeń zdarzeń elementarnych
( zbiór wszystkich, wzajemnie wykluczających się wyników
danego doświadczenia )
A, B, ... - zdarzenia losowe
( dowolne podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych
W
)
Z -
zbiór zdarzeń losowych
( rodzina podzbiorów przestrzeni zdarzeń elementarnych
W
)
Na zdarzeniach wykonujemy działania analogiczne jak na zbiorach np.
A È B - suma zdarzeń A i B tj. zdarzenie składające się ze zdarzeń elementarnych
należących do A lub do B.
A Ç B - iloczyn zdarzeń A i B tj. zdarzenie składające się ze zdarzeń elementarnych
należących do A i do B.
A’ - zdarzenie przeciwne tj. zdarzenie składające się ze zdarzeń elementarnych,
które nie należą do A .
Ponadto mówimy, że:
A jest zdarzeniem niemożliwym , gdy A= Æ
A jest zdarzeniem pewnym , gdy A=
W
.
DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA .
Definicja klasyczna prawdopodobie ń stwa ( Pierre Simon Laplace 1812)
Jeżeli przestrzeń
W składa się z n ( n < ֶ ∞ ) jednakowo możliwych zdarzeń
elementarnych i zdarzenie A składa się z k zdarzeń elementarnych, to liczbę
P
(
A
)
=
k
n
nazywamy p r a w d o p o d o b i e ń s t w e m z a j ś c i a z d a r z e n i a A.
Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa ( Andriej Kołmogorow 1931 )
Niech W będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego D ,
Z - jego zbiorem zdarzeń losowych. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P
przyporządkowującą każdemu zdarzeniu A Î Z liczbę rzeczywistą P(A) zgodnie z
następującymi aksjomatami:
( a1 ) Dla każdego zdarzenia A Î Z
P(A) ³ 0
( a2 ) Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia pewnego jest równe 1, tj.
P(
W
)= 1
( a3 ) Dla dowolnego ciągu A 1 , A 2 , ... parami rozłącznych zdarzeń ze zbioru Z
P(A 1 È A 2 È …) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + …
Dla dowolnego doświadczenia losowego D można określić
przestrzeń probabilistyczną ( W ,Z,P) .
55411529.001.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin