17
Niech , obszar D jest domknięty (zawiera swój brzeg) i funkcja f jest ograniczona w D. Dokonujemy podziału tego obszaru na obszary częściowe których pola oznaczymy odpowiednio przez . W każdym z obszarów częściowych obieramy dowolnie punkt pośredni, którego współrzędne oznaczymy przez i definiujemy sumę częściową: .
W ten sposób mamy zdefiniowany jeden podział. Rozważmy ciąg takich podziałów. Ciąg taki nazywamy normalnym jeśli .
Definicja (całki podwójnej). Jeśli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów i niezależnie od wyboru punktów pośrednich istnieje skończona granica to nazywamy ją całką podwójną z funkcji f po zbiorze D i oznaczamy .
Uwagi. O funkcji f mówimy wówczas, że jest całkowalna w obszarze D. f nazywamy funkcją podcałkową, D - obszarem całkowania. Przez oznaczamy zbiór wszystkich funkcji całkowalnych w D. Zatem następujące warunki są równoważne:
a) f jest całkowalna w D;
b) istnieje ;
c) ;
Całkę podwójną będziemy czasem zapisywać krótko . Cały czas będziemy zakładać, że funkcje podcałkowe są ciągłe w domkniętym obszarze D.
Twierdzenie. Funkcja ciągła w obszarze domkniętym jest całkowalna.
Bezpośrednio z definicji całki podwójnej wynika następujące
Twierdzenie (własności całek podwójnych).
1. .
2. , gdzie .
3. Jeżeli w D, to .
4. .
5. Jeśli m i M oznaczają odpowiednio najmniejszą i największą wartość funkcji w obszarze D, to , przy czym |D| oznacza pole obszaru D.
6. (Tw. o wartości średniej dla całki podwójnej). Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze domkniętym D, to istnieje taki punkt , że
Uwaga. Twierdzenie to uzasadnia celowość wprowadzenia następującej definicji. Średnią wartością funkcji f w obszarze D nazywamy liczbę .
7. (Tw. o addytywności całki podwójnej). Jeżeli obszar D jest sumą skończonej liczby obszarów rozłącznych, tzn. , to
.
Uwagi.
1 (interpretacja geometryczna całki podwójnej). Załóżmy, że funkcja f jest ciągła i nieujemna w obszarze domkniętym D. Wówczas wykres funkcji f jest pewną powierzchnią S rozpostartą nad obszarem D (rys. ??). Brzeg obszaru D oznaczmy przez C. Rozpatrywać będziemy bryłę walcową V ograniczoną z dołu obszarem D, z góry powierzchnią S i z boku powierzchnią walcową, której kierownicą jest krzywa C, a tworzące są równoległe do osi OZ. Gdy dokonamy podziału obszaru D na obszary
częściowe , wtedy również możemy dokonać podziału omawianej bryły walcowej na bryły walcowe o podstawach . Objętość każdej takiej kolumny będzie równa w przybliżeniu polu podstawy pomnożonemu przez , gdzie jest dowolnie wybranym punktem obszaru . Jest to bowiem objętość walca o polu podstawy i wysokości . Zatem objętość tego walca wynosi . Gdy te objętości dodamy, otrzymamy sumę częściową dla funkcji f :
. Suma ta jest objętością bryły złożonej z przyległych do siebie słupków walcowych, których podstawami są obszary częściowe , a wysokościami wartości funkcji w dowolnie wybranych punktach pośrednich. Jest zgodne z intuicją uznać tą sumę za przybliżoną wartość objętości |V| bryły V opisanej wcześniej. Błąd tego przybliżenia jest tym mniejszy, im mniejsza będzie średnica dokonanego podziału. Znowu zgodnie z intuicją możemy przyjąć za objętość wspomnianej bryły granicę ciągu takich sum całkowych odpowiadającego dowolnemu normalnemu ciągowi podziałów obszaru D. Ponieważ tą granicą jest całka podwójna, to szukana objętość bryły wyraża się wzorem
(Jeżeli na całym obszarze D, to oczywiście .)
2 (pole obszaru). Jeśli w D, to jest objętością walca o podstawie D i wysokości 1, a zatem liczbowo jest równa polu D. Zatem
Twierdzenie (zamiana całki podwójnej na iterowaną). Niech jak zwykle będzie ciągła w domkniętym obszarze D. Jeśli D jest normalny względem x /y/, tzn. //, funkcje są ciągłe w swoich dziedzinach, to //
Przykłady.
1. Obliczyć , gdzie .
Mamy tu , zatem =
2. Obliczyć objętość bryły V ograniczonej paraboloidą obrotową i płaszczyznami .
(patrz rys.???).
Twierdzenie (o zmianie zmiennych w całce podwójnej). Dany jest obszar płaski D, domknięty i określony we współrzędnych prostokątnych (x,y), jest ciągła w D, funkcje
(*)
mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe w obszarze określonym we współrzędnych (u,v),
przy czym obszar D jest obrazem poprzez funkcje (*), jakobian jest różny od zera w . Wówczas:
Uwagi. Wzory
(**)
określają związek między współrzędnymi prostokątnymi (x,y) i biegunowymi (patrz rys. ???). Mamy wtedy i . Wzory (**) można stosować tam, gdzie pod całką i w opisie obszaru D występują wyrażenia .
Można też stosować wzory na ogólnione współrzędne biegunowe:
(***) ,
gdzie stałe a, b dobiera się do konkretnej całki. Wówczas i .
Wniosek (zmiana zmiennych na uogólnione biegunowe). Jeśli zastosujemy wzory (***), to teza twierdzenia o zmianie zmiennych wygląda następująco:
Przykłady. Obliczyć objętość elipsoidy V: (a,b,c>0). Objętość tą liczyliśmy już w 1. semestrze za pomocą całki pojedynczej. Teraz policzymy ja przy pomocy całki podwójnej, wykorzystując wzór na zmianę zmiennych na uogólnione biegunowe.
Związek jest równaniem górnej powierzchni V. Powierzchnia ta rozpościera się nad obszarem . Szukana objętość wynosi
Można przedstawić D w postaci normalnej względem x i liczyć ostatnią całkę wprost, zamieniając ją na odpowiednią całkę iterowaną (ZD). To prowadzi jednak do długich obliczeń. Zamiast tego wprowadzimy uogólnione współrzędne biegunowe (***), gdzie stałe a,b są tymi, które występują w opisie elipsoidy V. Mamy wtedy:
, czyli , a więc obszar D jest w nowych współrzędnych prostokątem, ponadto upraszcza się funkcja podcałkowa:
, skąd .
Przy otrzymujemy znany wzór na objętość kuli o promieniu R.
Definicja całki krzywoliniowej skierowanej
Dany jest na płaszczyźnie łuk skierowany tzn. taki, w którym wyróżniono początek A i koniec B , a więc przyjęto obieg od A do B (rys. ??). Zakładamy, że na K określone są funkcje dwóch zmiennych . Podzielmy łuk na k dowolnych części za pomocą punktów : . Dla symetrii oznaczamy oraz . Niech ma współrzędne dla . Na łuku częściowym obieramy dowolny punkt pośredni . Jest więc . Oznaczamy : . Mamy w ten sposób zdefiniowany jeden podział. Przez sumę częściową dla takiego podziału rozumiemy sumę
,
zaś za średnicę podziału przyjmujemy liczbę
Rozważmy cały ciąg takich podziałów. Jest on normalny, jeśli przy .
Definicja (całki krzywoliniowej skierowanej). Jeśli istnieje skończona granica
ciągu sum częściowych i nie zależy ona od wyboru normalnego ciągu podziałów i doboru punktów pośrednich to nazywamy ją całką krzywoliniową drugiego rodzaju albo całką skierowaną. Oznaczamy ją symbolem .
Uwagi. Zatem . Może się oczywiście zdarzyć, że lub i wtedy mamy odpowiednio do czynienia z całkami postaci lub ...
miromaj123