PODSTAWY AUTOMATYKI
linearyzacja charakterystyk nieliniowych - uproszczenie modelu nieliniowego tak ze charakterystyke nieliniowa przybliza sie lokalnie w otoczeniu wybranego punktu (warunki: male odchylenia od tego punktu oraz powinna istniec pochodna w tym punkcie - brak skokow lub zalaman charakterystyki statycznej) funcje liniowe rozwija sie w szereg Taylora i pomija sie wyrazy nieliniowe
metoda funkcji opisujacej - wykorzystuje zasade linearyzacji harmonicznej
metoda funkcji opisujacej - badanie wlasnosci pewnego typu nieliniowych ukladow
Funkcja opisujaca J(A) nieliniowego elementu nazywamy stosunek wartosci
zespolonej amplitudy pierwszej harmonicznej odpowiedzi tego elementu wywolanej
wymuszeniem sinusoidalnym do wartosci zespolonej amplitudy tego wymuszenia
w stanie ustalonym
B jfi B1+jC1 j -jpsi
J(A) = - e = ------ = --- calka od 0 do 2pi z f(Asinpsi)e po dpsi
E A piA
funkcja ta charakteryzuje sie w sposob przyblizony wlasnosci elementu
nieliniowego i jest odpowiednikiem transmitancji widmowej elementu liniowego
metoda portretow fazowych (metoda plaszczyzny fazowej) - analizowanie wlasnosci
nieliniowych ukladow
linearyzacja harmoniczna -
stabilnosc ukladu - (przypadek ukladu liniowego stacjonarnego o parametrach skupionych) rozwiazanie swobodne ukladu (przy niezerowych warunkach poczatkowych) pozostaje ograniczone w dowolnym czasie
stabilnosc asymptotyczna - uklad nie tylko jest stabilny ale przy czasie
dazacym do nieskonczonosci rozwiazanie swobodne
dazy do zera
punkt rownowagi stabilny globalnie - obszar stabilnosci jest nieograniczony
stabilnosc punktu rownowagi w sensie Lapunowa - punkt rownowagi jest stabilny
dla kazdego (dowolnie malego) obszaru o promieniu epsylon otaczajacego badany punkt rownowagi mozna znalezc taki obszar o promieniu delta(epsylon) ze trajektorie zaczynajace sie z punktow okreslonych warunkami poczatkowymi i lezacych wewnatrz obszaru o promieniu delta nie wychodza poza obszar o promieniu epsylon
punkt stabilny asymptotycznie
ponadto przy czasie dazacym do nieskonczonosci trajektorie daza do samego punktu rownowagi
kierunek dodatni - przeciwny do kierunku ruchu wskazowek zegara
metoda Nyquista badania stabilnosci - metoda czestotliwosciowa (także doswiadczalna)
kryterium stabilnosci Nyquista - uklad zamkniety otrzymany z danego ukladu
otwartego jest stabilny wtedy i tylko wtedy
gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa nie
obejmuje punktu (-1,j0)
kryterium Nyquista - badanie stabilnosci zamknietego ukladu regulacji automatycznej na podstawie przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej ukladu otwartego o
1 uklad otwarty jest stabilny (rownanie charakterystyczne
posiada wszystkie pierwiastki w lewej polplaszczyznie
plaszczyzny pierwiastkow)
delta arg M0(jw) = n*pi/2
0<w<oo
aby uklad zamkniety byl stabilny
delta arg M(jw) = n*pi/2
ogolnie mowiac warunek stabilnosci ukladu zamknietego
wynosi
delta arg [1 + K(jw)] = 0
K(jw) = P(w) + jQ(w)
uklad zamkniety regulacji automatycznej jest stabilny
jezeli charakterystyka amplitudowo-fazowa K(jw) ukladu
otwartego nie obejmuje punktu (-1,j0) dla pulsacji
w zmieniajacej sie od 0 do +oo
o
2 uklad otwarty jest niestabilny (rownanie
charakterystyczne zawiera m pierwiastkow w prawej
polplaszczyznie a pozostale (n-m) w lewej
polplaszczyznie plaszczyzny pierwiastkow)
Jezeli uklad otwarty regulacji automatycznej jest
niestabilny a jego rownanie charakterystyczne posiada
m pierwiastkow w prawej polplaszczyznie plaszczyzny
pierwiastkow to bedzie on stabilny po zamknieciu jesli
charakterystyka amplitudowo-fazowa K(jw) ukladu
otwartego dla pulsacji w zmieniajacej sie od -oo
do +oo okraza m razy punkt (-1,j0) w kierunku dodatnim
krytyczny wspolczynnik wzmocnienia kr - wzmocnienie przy ktorym charakterystyka
amplitudowo-fazowa przechodzi przez
punkt (-1,j0) a uklad znajdzie sie na
granicy stabilnosci
dla wzmocnienia wiekszego od kr uklad
stanie sie niestabilny
uklad zamkniety jest stabilny jezeli logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
ukladu otwartego posiada wartosc ujemna dla pulsacji odpowiadajacej przesunieciu
fazowemu -pi
Wyprowadzenie wzoru Nyquista - transmitancja operatorowa ukladu otwartego
otrzymanego poprzez przerwanie petli sprzezenia
zwrotnego
K(s)= Gr(s)G0(s)
L0(s)
K(s) = -----
M0(s)
rownanie charakterystyczne o stopniu n ukladu
otwartego
M0(s)=0
transmitancja ukladu zamknietego
K(s) L(s) L0(s)
G(s) = ------ = ---- = -----------
1+K(s) M(s) L0(s)+M0(s)
rownanie o stopniu tez n (stopien licznika
L0(s) moze byc co najwyzej rowny stopniowi
mianownika M0(s))
M(s) = L0(s) + M0(s) = 0
transmitancje operatorowa zapisuje sie za
pomoca transmitancji widmowej przez
podstawienie za s jw
kryterium Kudrewicza-Cypkina - dotyczy ukladow z nieliniowoscia statyki
w ktorych charakterystyka czlonu nieliniowego
f(epsylon) lezy calkowicie pomiedzy dwiema
prostymi o nachyleniach k1 i k2 a czesc liniowa
Go'(s) jest stabilna
role punktu krytycznego -1/K pelni kolo o srodku
na osi liczb rzeczywistych i brzegu
przecinajacym te os w punktach -1/k1 i -1/k2
warunkiem dostatecznym stabilnosci
asymptotycznej ukladu zamknietego jest aby
charakterystyka amplitudowo-fazowa Go'(jw) nie
przecinala ani nie obejmowala powyzszego kola
dla k1 i k2 moga byc zerowe lub nieskonczone
kolo wowczas zamienia sie w polplaszczyzne
liniowe uklady regulacji:
uklady regulacji statycznej - uchyby ustalone sa proporcjonalne do wartosci
pobudzenia skokowego
transmitancja ukladu otwartego K(s)= -----
uklad regulacji statycznej - w ukladzie rozne od zera, proporcjonalne do
wartosci stalego (lub skokowego) pobudzenie uchybu
ustalonego
uchyb statyczny - uchyb ustalony przy wymuszeniu skokowym
uklady regulacji astatycznej - uchyby ustalone przy stalym pobudzeniu sa rowne
zeru niezaleznie od wartosci pobudzenia
transmitancja ukladu otwartego K(s)= --------
l
s M0(s)
l - liczba czlonow calkujacych polaczonych
lancuchowo
uklad astatyczny - uchyb statyczny jest rowny zero
uklad astatyczny - uchyby ustalone przy stalym pobudzeniu sa rowne zeru niezaleznie od wartosci pobudzenia aby zamkniety uklad regulacji byl astatyczny uklad otwarty (obiekt lub regulator) musi miec wlasnosci calkowe
uchyby ustalone - miara dokladnosci statycznej ukladu regulacji wystepuja po zaniku procesu przejsciowego wywolanego sygnalem (wymuszeniem na wejsciu ukladu lub zakloceniem) eust = lim e(t)
t->oo
uchyb regulacji - roznica miedzy wartoscia wielkosci regulowanej i wartoscia zadana wielkosci regulowanej wywolany zakloceniami, realizacja techniczna ukladu, wlasnosciami transmitancji ukladu otwartego (struktura ukladu)
e(t) = x(t) - y(t)
e(t) = es + ep(t)
es - uchyb ustalony
ep(t) - uchyb przejsciowy
wskaznik jakosci sterowania - traktuje sie jako wartosc wspolczynnika przeregulowania i czasu regulacji dopuszczalne przeregulowanie zawiera ie w granicach od 0 do 5 % lub 20 % czas regulacji liczy sie od pierwszego wejscia wykresu uchybu do wewnatrz paska okreslonego w przedziale 5 % epsylonr
wskazniki jakosci odpowiedzi skokowej - czas regulacji tr i przeregulowanie
kappa
czas regulacji tr - czas od chwili pobudzenia do chwili gdy uchyb przejsciowy
ep(t) zmaleje trwale ponizej zalozonej wartosci deltae
czas trwania stanu przejsciowego
czas narastania - czas potrzebny aby charakterystyka skokowa osiagnela od 10
do 90 % wartosci ustalonej
ep1
przeregulowanie kappa (takie x) - iloraz X = --- 100 %
ep0
ep0 - poczatkowa maksymalna wartosc uchybu
przejsciowego
ep1 - najwieksza wartosc uchybu o znaku
przeciwnym niz ep0
miara zapasu stabilnosci ukladu
dla ukladow znajdujacych sie na granicy
stabilnosci wynosi 100 %
E1(jw) z regulatorem
wskaznik regulacji q(jw) - q(jw) = ---------------------
E2(jw) bez regulatora
ocena osiagalnego w ukladzie regulacji stopnia kompensacji zaklocen dzialajacych na obiekt oraz wlasciwosci ukladu zwiazane z realizacja zadania regulacji
1
dla prostych ukladow regulacji q(jw) = --------------
1+Gr(jw)G0(jw)
z: |q(jw)|=<q0 dla w=<wr
czestotliwosciowy wskaznik jakosci regulacji - q(jw)= --------
1+Go(jw)
idealna regulacja dla |q(jw)|=0
wskazniki calkowe - wskazniki jakosci regulacji
I1=calka od 0 do oo z epsylon(t) po dt dla epsilon aperiod.
I1m=calka od 0 do oo z modulu epsylon(t) po dt
I2=calka od 0 do oo z epsylon(t) do kwadratu po dt
calkowe kryteria jakosci - pelna ocena wszystkich wlasnosci przebiegu regulacji
za miare jakosci ukladu uwaza sie wartosc calki I
im mniejsza jest ta wartosc tym wyzsza jest jakosc
ukladu
dla przebiegow oscylacyjnych stosuje sie kryteria
I1m i I2
pulsacja graniczna pasma roboczego wr - zakres pulsacji w ktorym dostatecznie
silnie (co najmniej q0 razy) tlumione sa
zaklocenia
pasmo przenoszone - zakres czestotliwosci w ktorym uklad zamkniety przenosi
sygnaly zadane
czestotliwosci graniczne - okreslane w ukladzie otwartym oszacowuja pasmo
w ktorym uklad regulacji jest poprawny
modul rezonansowy Mp albo Lmp - maksymalna wartosc modulu transmitancji ukladu
zamknietego
duze wartosci Mp odpowiadaja malemu
wspolczynnikowi tlumienia ukladu zamknietego
i odwrotnie
wspolczynnik wzmocnienia (statycznego) - ko nazywa sie granice do ktorej dazy
transmitancja przy s->0
stala czasowa - okresla szybkosc mozliwych zmian przebiegow rozwiazan T - okresla przedzial czasu po ktorym przebieg zmieni swoja wartosc e-krotnie
wspolczynnik tlumienia wzglednego - xi
zapas modulu - delta Lm
zapas fazy - delta fi
miromaj123