fale - skrypt.pdf - Podstawy akustyki - lizonj

Instytut Fizyki

RUCHFALOWY

Włodzimierz Salejda

Notatki do wykładów z ﬁzyki dla studentów

Wydziału Inżynierii Środowiska PWr

Rok ak. 2006/2007, semestr letni

Notatki są opublikowane w Interneciena stronie domowej autora

http://www.if.pwr.wroc.pl/˜wsalejda,

zktórejmożnapobraćskompresowaneplikifale − ps.ziplubfale − pdf.zipznotatkamizapisanymi

w formatach PS lub PDF .

Pliki rozpakować należy za pomocą programów: pkunzip,InfoZip,WinZip itp.

Bezpłatne przeglądarki do plików postscriptowych (o rozszerzeniu .ps ) oraz zapisanych

w formacie Portable Document File (o rozszerzeniu .pdf ) są dostępne w Internecie na stro

nie z notatkami.

Wrocław, wrzesień 2007

Spis treści

1. Wprowadzenie 3

2. Fale sprężyste 5

2.1. Prędkości stowarzyszone z ruchem falowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Równanie fali monochromatycznej 9

3.1. Prędkość fazowa fali monochromatycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2. Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku . . . . . . . . . . . 12

4. Równanie falowe 13

4.1. Proste wyprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2. Liniowe równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3. Prędkość impulsu poprzecznego w strunie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.4. Jednowymiarowa fala podłużna w pręcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.5. Dodatek I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5. Energia fali sprężystej 21

5.1. Dodatek II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2. Przechodzeniefal sprężystychprzez granicę ośrodków . . . . . . . . . . . . . . . 25

6. Fale akustyczne 29

6.1. Wzór Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.2. Zależności fazowe w fali głosowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.3. Średnia wartość kwadratu ciśnieniaakustycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.4. Przenoszenie pędu przez fale akustyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.5. Akustycznyefekt Dopplera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7. Interferencja fal 39

7.1. Interferencjafal monochromatycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.2. Fale stojące na strunie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.3. Źródła dźwięków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.4. Dudnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.5. Rezonans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8. Prędkość grupowa i modulacja fal 44

8.1. Modulacja amplitudowa fal radiowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.2. O przekazie obrazu telewizyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.3. Prędkość grupowa a prędkość fazowa – dyspersja fal . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9. Fale nieliniowe 49

9.1. Fale uderzeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.2. Solitony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Rzeczywistość to nie cecha, którą można wykryć papierkiem

lakmusowym.

Stephen W. Hawking 1

1. Wprowadzenie

Wszechświat, w tym także ta jego część, w którym istnieje cywilizacja ziemska, wypeł

niają różnego typu fale. Przestrzeń kosmiczną wypełnia między innymi promieniowanie relik

towe,będąceswegorodzajuechem okrzyku nowonarodzonego Wszechświata,którywydałtenże

w momencie,gdy był jeszcze bardzo bardzo młodym bo miał zaledwie 10 5 lat 2 .

Atmosferę ziemską wypełnia promieniowanie elektromagnetyczne (tj. fale elektromagne

tyczne o różnych długościach) emitowane przez Słońce, anteny radiowe, telewizyjne i nadaj

niki satelitarne umieszczone na orbitach okołoziemskich. Ogólnoświatowa sieć komputerowa

Internet, zapis dźwięku i obrazów na dyskach kompaktowych, urządzenia audiowizualne oraz

multimedialne,telekomunikacja(naziemnaisatelitarna)–wszystkotofunkcjonujedziękiokre

ślonym procesom falowym.

Skorupę ziemską od czasu do czasu nawiedzają trzesienia. Powierzchnię mórz i oceanów

pokrywająfalemorskiewzbudzanewiatrem 3 .Przedmiot,którywrzuconodospokojnegojeziora

lubstawu(alborozlewiskawdorzeczuOdrypodczaspowodzitysiącleciazlipcu1997roku)jest

żródłem fal rozchodzącychsię koliściepo powierzchni wody.

Specyﬁcznytypzjawiskafalowego,którepozwalamsobienazwaćfan–faląmożnaobserwować

na stadionach. Publiczność tam zgromadzona 4 wzbudza fan–falę wstając z krzeseł i siadając

na nie w odpowiednich chwilach czasu 5 . W tym przypadku mamy do czynienia z impulsem

falowym biegnącym w ośrodku, którym jest publiczność.

Sala wykładowa, w której się obecnie znajdujemy jest wypełniona falami akustycznymi,

których źrodłem jest, m.in. wykładowca. Każdy z obecnych tutaj słuchaczy staje się także

źródłem fali akustycznej, jeśli zadaje pytanie lub rozpoczyna pogawędkę z sąsiadką lub sąsia

dem. Powiem więcej, jeśli nawet żadna z obecnych na tej sali osób chwilowo nie rozmawia, to

i tak jest ona źródłem promieniowania cieplnego, ponieważ każde ciało o temperaturze bez

względnej większej od zera absolutnego emituje promieniowanie cieplne (tj. promieniowanie

elektromagnetyczne).

Innym rodzajem ruchu falowego jest fala materii 6 , która towarzyszy zgodnie z hipotezę de

Broglie’a (dualizm falowokorposkularny) każdemu ciału o pędzie p = 0, a jej długość materii

wynosi 7 materii = h/p , gdzie h =6 , 62 10 − 34 J s jest stałą Plancka.

Stephen Hawking 8 w swej wersji kosmologii kwantowej, dotyczącej WielkiegoWybuch, po

sługuje się funkcją falową Wszechświata 9 .

1 Cytatpochodzizksiążki:S.W.Hawking,R.Penrose, Naturaczasu iprzestrzeni ,WydawnictwoZyskiSka,

Poznań 1996.

2 WiekWszechświatajestszacowanynaod10 10 do2 . 0 10 10 lat.Dzisiaj,wrzesień 2007,czastrwaniaWszech

świata szacowany jest na około13,7 mld lat.

3 Fale morskie wzbudzane przez trzęsienia ziemskie noszą nazwę tsunami .

4 Widzowie,towzdecydowanejwiększościfanidanejdziedzinysportu.Stądteżwywodzisięstosowanaprzeze

mnie nazwa fan–fali.

5 Jak oszacować prędkość fan–fali?

6 Nazywana jest także falą prawdopodobieństwa .

7 Na szczęście Matka Natura nie wyposażyła człowieka w narządy, za pomocą których widzialne byłoby

promieniowanie cieplne lub też fala materii stowarzyszona z człowiekiem lub innymi obiektami. Nie jest to

niezbędne do podtrzymywania podstawowych funkcji organizmów żywych.

8 Patrz rozdział 5 książki cytowanej w pierwszej stopce.

9 W tym sensie, być może sami jesteśmy pewną formąruchu falowego?

Przykłady ruchu falowego i zjawisk mających charakter falowy można by tutaj mnożyć

i wyliczaćdalej 10 . My zajmiemysię podstawowymi właściwościami ruchufalowego (fali),które

z punktu widzenianauk inżynierskichi ﬁzyki są najistotniejsze.

Falatopojęcieabstrakcyjne.Podpojęciemfalibędziemyrozumielidalejrozchodzeniesięza

burzeniaośrodka(lubpola)odjednegodoinnegopunktuośrodka(pola).Precyzyjneokreślenie

falipodamy wdalszymciąguwykładu. Rozchodzeniusięzaburzeniatowarzyszyprzekazywanie

ruchu 11 w jaki wprawiane są cząsteczki ośrodka, do których fala dociera. W tym kontekscie,

znane typy ruchów falowychprzyjęto dzielićna dwie duże grupy, którymi są:

I. Fale sprężyste (patrz rozdział 2) zwane także falami mechanicznymi – fale te będą

przedmiotemnaszego szczególnego zainteresowania;

II. Fale elektromagnetyczne – tym falom poświęcimy nieco uwagi po zapoznaniu się

z równaniami Maxwella.

Fale sprężysteswojąnazwę zawdzięczajątemu,żerozchodząsię,tj. istniejątylkow ośrod

kach sprężstych ,natomiastfaleelektromagnetycznemogąsięrozchodzićtakżewpróżni.Pro

pagacjafalelektromagnetycznych(grawitacyjnych)jestzwiązanazrozchodzeniemsięzaburzeń

pola elektromagnetycznego(grawitacyjnego). W tym sensie do rozchodzenia się fal elektroma

gnetycznych(grawitacyjnych) nie jest wymagane istnienieośrodka sprężystego 12 .

Dobrym przykładem ruchu falowego z pierwszej grupy jest dźwięk (fale akustyczne). Na

tomiast do drugiej grupy zaliczamy, m.in., światło, fale radiowe i telewizyjne, promieniowanie

Dodajmy, że fale rozchodzą się ze skończoną prędkością i że towarzyszy im przekaz energii

oraz pędu (patrz rozdział 5).

Ruchfalowy jest działemﬁzyki,wktórym manifestujesię wyraźniejedność iuniwersalność

praw przyrody, ponieważ do opisu fal będziemy:

stosowali dynamikę Newtona (patrz rozdział 4),

odwoływali się do własności sprężystych ciał (patrz rozważania dotyczące rozchodzenia

się fal sprężystychw rozdziale 4),

posługiwali siętermodynamiką(patrzrozdziały6dotyczącewzoruLaplace’aifaluderze

niowych(patrz rozdział 9.2)).

Będziemy mówili głównie o falach liniowych, które spełniają zasadę superpozycji (patrz

podrozdział Interferencja fal ) . Omówimy także krótko fale nieliniowe,których dobrym repre

zentantem są solitony (patrz rozdział 9.2).

10 Nie jest ruchem falowymtzw. fala w wojsku.

11 Zazwyczaj jest to ruch harmoniczny tłumiony.

12 Zagadnienie to ma swoją długą historię związaną z postulatem istnienia hipotetycznego eteru, tj. wyima

ginowanego ośrodka, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne. Tego typu problemy były rozpatrywane

i szeroko dyskutowane na przełomie XIX i XX wieku. Sformułowanieprzez Einsteina szczególnej teorii względ

ności położyło kres tego typu spekulacjom. Jednakże pojęcia próżni nie należy utożsamiać z absolutnie pustą

przestrzenią będącą tutaj synonimemabsolutnieniczego,ponieważ próżniaz punktu widzenia ﬁzykikwantowej

ma swoją wewnętrzną strukturę (jest to przecież fragment czterowymiarowej czasoprzestrzeni), którą przyjdzie

nam jeszcze dokładnie poznać. Zamiast próżni, mówimy w tym przypadku o polu jako o ośrodku, w którym

propagują się fale.

W miarę jak odkrywamy kolejne fundamentalnezasady ﬁzyki,

okazuje się, że mają one coraz mniej wspólnego z naszym ży

ciem.

2. Fale sprężyste

Wszystkie rodzaje fal sprężystychrozchodząsię (mówimy,żepropagują się) wośrodku wy

kazującym sprężystość objętości lub sprężystość postaci (kształtu). Wymienionetutaj rodzaje

sprężystości wykazujągazy, cieczeiciała stałe 14 .Płyny wykazują jedyniesprężystośćobjętości

natomiast ciała stałe sprężystość objętości i sprężystość postaci 15 .

Zadanie 1. Wyjaśnić własności sprężystości płynów i ciał stałych.

Z właściwością tą mamy do czynienia wówczas, gdy próbujemy zmienić objętość płynu

lub ciała stałego albo też kształt ciała stałego. Czynimy to zazwyczaj w określony sposób, tj.

ściskamypłynlubciałostałelubodkształcamyciałostałe(rozciągając,ściskając,skręcająclub

zginając je). Wtedy to zaczynają odgrywać rolę przyciągające lub odpychające oddziaływania

między cząsteczkami ośrodka, które przeciwdziałają jego odkształceniu. Po ustaniu działania

zewnętrznej siły powodującej odkształcenie, ośrodek powraca do początkowej objętości lub

kształtu. Właściwość tę przyjęto nazywać sprężystością ośrodka 16 .

Istniejąodpowiedniecharakterystykiilościoweopisującesprężystość,którekrótkoprzedsta

wiamy poniżej.

Jeśli miara zewnętrznego oddziaływania na dany układ ﬁzyczny jest dostatecznie mała,

to wartość odkształcenia " ośrodka sprężystego jest proporcjonlna do , tj.

" = , (1)

gdzie — współczynnik sprężystości ośrodka — jest miarą właściwości sprężystych danego

ośrodka. Miarąoddziaływania zewnętrznego jest zazwyczajnaprężenie(zwane, wprzypadku

płynów, ciśnieniem), zaś miarą odkształcenia ośrodka sprężystego " jest względna deformacja

(wielkość bezwymiarowa).

Ośrodek sprężysty spełniający (1) będziemy określali mianem liniowego .

Zadanie 2. Jaki jest wymiar współczynnika ?

Ostatnią zależność stosuje się zazwyczaj w następującej postaci:

= 1

(2)

gdzie K jestmodułemsprężystości 17 ,którybędącodwrotnościąwspółczynnikasprężystościjest

także miarą właściwości sprężystychośrodka.

Zadanie 3. Jaki jest wymiar współczynnika K ?

Zastanówmysię,jakpowiązaćsprężystośćciałzfalamisprężystymi.Wtymceluodwołajmy

się do doświadczeń myślowych.

13 Cytat pochodzi z książki: Steven Weinberg, Sen o teorii ostatecznej , Wydawnictwo Alkazar Sp z.o.o.,

Warszawa 1994.

14 Przypomnijmy, że gazy i ciecze przyjęto, w naukach inżynierskich, nazywać płynami. Natomiast w ﬁzyce

ciecze i ciała stałego (takie jak: ciała amorﬁczne (szkła, stopy, polikryształy), kryształy (np. kryształek soli

kuchennej lub kwarcu, ciekłe kryształy) przyjęto określać mianem materii skondensowanej.

15 Terminsprężystość oznaczatutajwłaściwośćﬁzyczną polegającąnadążeniudanegoośrodkadozachowania

swej początkowej objętości lub postaci (kształtu) po ustaniu działania powodującego odkształcenie.

16 Zauważmy,że możnawtymkontekscie mówićopewnego rodzajupamięcidotyczącej kształtu lubobjętości

rozpatrywanego ośrodka.

17 Dobrym tego przykładem jest prawo Hooke’a: l

l 0

E = F

Steven Weinberg 13

" = K ",

E S , gdzie E – moduł Younga, F – wartość

zewnętrznejsiłyprzyłożonejdoprętaodługościpoczątkowej l 0 ipoluprzekrojupoprzecznego S , l –wydłużenie

pręta pod działaniem F .

fale - skrypt.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: