kowalczyk zadania.doc

Przykład 1

Wykonano 10 odczytów wielkości fizycznej X:

Należy opracować wyniki pomiarów (zakładając ich normalny rozkład prawdopodobieństwa).

Należy wybrać przedział ufności z prawdopodobieństwem Pu=0.95. Błędów systematycznych nie należy uwzględnić.

Rozwiązanie

Średnia arytmetyczna wartości wyników oddzielnych pomiarów

Estymator odchylenia standardowego wartości średniej

Z tabeli rozkładu Studenta otrzymuje się:

Wynik pomiaru:

X=1689,0;;Pu=0,95

Przykład 2

              Na podstawie świadectwa kalibracji wzorca masa m o wartości nominalnej mn=1kg wynosi 1000,000323 g z niepewnością całkowitą uc=. Określić niepewność standardowa u.

Rozwiązanie:

Niepewność całkowita została określona dla tzw. trzysigmowego przedziału ufności. Odpowiada to jednoznacznie poziomowi ufności a=0,9973, dla którego k(a)=3, wobec tego:

Przykład 3

Określić niepewność standardowa dla miernika przemieszczeń liniowych posiadającego wartość błędu granicznego

Rozwiązanie

Przyjmując założenie, ze błędy przyrządu pomiarowego przyjmują z jednakowym prawdopodobieństwem wartości z przedziału (maja rozkład jednostajny), otrzymuje się odchylenie standardowe dla rozkładu jednostajnego z zależności

Przykład 4

              Przy założonym poziomie ufności p=0.95 należy obliczyć graniczny błąd i niepewność pomiaru wielkości fizycznej X. Miernikiem cyfrowym o niedokładności (granicznym błędzie bezwzględnym) odczytu + 2 cyfry wykonano serie N=10 pomiarów wartości wielkości fizycznej X otrzymując wyniki w jednostkach [J] zestawione w tablicy:

Tablica. Wyniki pomiarów wielkości X

Pomiary wykonano na zakresie IJ

Rozwiązanie

Średnia arytmetyczna serii pomiarów:

Estymata wariacji pojedynczego pomiaru:

Estymata wariancji średniej arytmetycznej:

graniczny błąd systematyczny (niedokładności) miernika obliczony dla średniej arytmetycznej

graniczny błąd przypadkowy (z rozkładu t-Studenta)

Dla N-1=9, t0.9s=2.262

graniczny błąd pomiaru jest suma granicznego błędu przypadkowego i granicznego błędu systematycznego:

wynik pomiaru:

X=(0.90050.0045)J (na poziomie ufności p=0.95)

Niepewność standardowa pomiaru:

u(x)=1.57mJ

Niepewność rozszerzona pomiaru:

Wynik pomiaru:

X=(0.90050,0032)J (ze współczynnikiem rozszerzenia k=2)

Przykład 5

W pomiarze pośrednim należy zmierzyć jednocześnie dwie wielkości fizyczne o wartościach . Do pomiaru wielkości X śluzy miernik z błędem granicznym względnym , a do pomiaru wielkości Y służy miernik z błędem granicznym względnym . Określić błędy graniczne względne pomiaru wielkości Z gdy:

a)

b)

c)

d)

Rozwiązanie

W przypadku mnożenia i dzielenia błąd graniczny względny:

dla dodawania

w przypadku odejmowania

przy obliczaniu błędów granicznych nie uwzględnia się możliwości wzajemnej kompensacji błędów. Otrzymuje się przez to wartości zbyt pesymistyczne.

Przykład 6

Obliczyć moc sygnału podanego na rys 1. zakładając, że całkowita moc sygnału przenoszona jest przez składowe od piątej harmonicznej, wyznaczyć, jaki procent mocy przenosi pierwsza harmoniczna. Trygonometryczny szereg Fouriera dla sygnału ma postać:

Rozwiązanie

Na podstawie twierdzenia Paresevala P=

Z warunków zadania 100% mocy odpowiada

zawartość mocy w pierwszej harmonicznej można określić jako:

Przykład 7

dla sygnału jak na rysunku podać:

a)        Współczynnik kształtu

b)        Współczynnik szczytu

c)        wartość mocy zawartej w składowych powyżej pierwszej harmonicznej.

Trygonometryczny szereg Fouriera dla sygnału ma postać:

a)

b)

d)        Przy założeniu jednostkowej rezystancji (R=1W) liczbowo moc składowej stałej i pierwszej harmonicznej wynosi

całkowita moc sygnału jest równa mocy sygnału sinusoidalnego o okresie T=2T1 i amplitudzie A

moc składowych powyżej pierwszej harmonicznej wynosi

Udział procentowy mocy:

Przykład 8

Zarejestrowano przebieg wielkości mierzonej X(t) jak na rysunku:

Określić częstotliwość graniczna sygnału w oparciu o kryteria:

a)        pierwszego miejsca zerowego obwiedni widma

b)        spadku amplitudy granicznej harmonicznej poniżej 10% amplitudy pierwszej harmonicznej.

Rozwiązanie

Obliczeni częstotliwości granicznej fgS1.

szereg wykładniczy Fouriera dla modelu impulsów okresowych o szerokości a ma postać:

dla pierwszego miejsca zerowego obwiedni widma

stad i

obliczenie częstotliwości granicznej fgS2

Warunek zachodzi dla argumentu funkcji

większego od 3p

czyli n> i fgS2=

Przykład 9

Jaki powianiem być odstęp równomiernego próbkowania Tp dla sygnału sinusoidalnego o częstotliwości f=1 kHz, aby można było odtworzyć ten sygnał na podstawie próbek z liniowa interpolacja i błędem nie przekraczającym wartości maksymalnej gm=1%

Rozwiązanie

Liczbę próbek n przypadających na każdy okres T sygnału sinusoidalnego określa zależność

przykładowo zadanym gm odpowiadają wartości n