Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

I  Równanie jednorodne

Niech oraz .

Równanie różniczkowe

o funkcji niewiadomej nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.

Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie

   .

Wtedy                 ,

czyli                

i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

.

Przykład

Rozwiązać równanie .

Zapisując równanie w postaci równoważnej otrzymujemy równanie jednorodne, gdzie . Zatem jeśli , czyli , co zachodzi gdy stosujemy podstawienie

    .

Wtedy  i równanie przyjmuje postać

.

Stąd

,

, gdzie

lub równoważnie

, gdzie

.

Stąd jest rozwiązaniem dla każdego .

Jednak przyjmując w powyższym wzorze otrzymujemy krzywą (tzn. ), dla której i krzywa ta spełnia równanie różniczkowe bo .

Zatem rozwiązaniem ogólnym jest rodzina krzywych

II Równanie , gdzie , oraz f  jest ciągła.

Stosujemy podstawienie .

Wtedy

i korzystając z równania otrzymujemy

czyli                                         

zatem otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych.

Przykład

Rozwiązać równanie .

Stosujemy podstawienie

Wtedy i równanie przyjmuje postać

Stąd              

.

Ponieważ

zatem

              jest rozwiązaniem równania.

Ponadto, jeśli .

Zatem

jest też rozwiązaniem równania.

III Równanie

,              gdzie R oraz f – ciągła.

1 Jeśli , to podstawiamy

,  gdzie h, k – pewne stałe.

Stałe h, k dobieramy tak, aby po podstawieniu za x, y nowych zmiennych znikały wyrazy wolne w liczniku i mianowniku ułamka będącego argumentem funkcji f.

Ponieważ

zatem h, k muszą spełniać układ równań

Oczywiście dzięki założeniu 1 istnieją takie stałe h, k.

Ponieważ

więc

Stąd równanie przyjmuje postać

i dzieląc licznik i mianownik ułamka przez otrzymujemy

         - RJ (typu I).

2 Jeśli , to

i równanie przyjmuje postać

Wtedy podstawiamy .

Różniczkując powyższą równość otrzymujemy

i ostatecznie

- równanie o zmiennych rozdzielonych.

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania .

Ponieważ wyznacznik

Zatem podstawiając

otrzymujemy równanie

,

które przekształcone przyjmuje postać

.

Teraz stosując kolejne podstawienie

mamy

,

skąd

i równanie przyjmuje postać

.

Przekształcając otrzymujemy

i po całkowaniu

                            dla

czyli

                                          dla .

Zatem

                                          dla 

jest rozwiązaniem równania. Ponadto, jeśli , to lub . W przypadku gdy mamy i równanie nie jest spełnione (bo ). Natomiast w przypadku, gdy mamy , stąd i wstawiając te wartości do równania otrzymujemy

czyli jest całką równania.

Stąd

              dla  R

czyli

              dla  R

jest całką ogólną równania.

Wracając do starych zmiennych otrzymujemy

i ostatecznie

                                          ,  gdzie R.

6