jakim_procentem_liczby_a_jest_liczba_b.pdf

Obliczanie jakim procentem

jednej liczby jest druga liczba

Przedmowa

Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozu-

mieją o co chodzi w procentach, a pozostała część jest przeznaczona dla gimnazjalistów oraz osób starszych

które chcą sobie przypomnieć wszystko na ich temat. Prawie wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione „na

chłopski rozum” z zachowaniem poprawności matematycznej.

Pełną wersję tego opracowania znajdziesz tu:

http://matematyka.strefa.pl/procenty_i_promile.pdf

Opracowanie

Przypuśćmy, że chcesz obliczyć jakim procentem liczby 12 jest liczba 6 . Bez obliczeń wiesz, że 6 to 50% liczby 12 .

W zadaniach które będziesz rozwiązywać, trzeba to jednak wyliczyć. Nie wolno zgadywać. No i pytanie jak to zrobić?

Sposób 1: Układasz równanie wynikające bezpośrednio z treści zadania:

z użyciem symbolu %

bez używania symbolu %

z liczby

12 = 6

⋅ 12 = 6 /:12

= 6

12 = 1

2 = 50

100

=50 %

Symbol % nie wyszedł w wyniku końcowym, bo był

napisany w pierwszej linijce.

Sposób 2: Skoro wiesz, że ma Ci wyjść wynik 50% czyli

, więc zauważasz, że dzieląc liczbę 6 przez 12 dostaniesz ty-

le ile potrzebujesz, czyli

. Układasz więc działanie:

12 ⋅100%

i je obliczasz:

Jeśli dysponujesz kalkulatorem, obliczenie wyniku możesz zrobić w taki sposób:

12 ⋅100%=0,5⋅100%=50%

Przypominam, że przy mnożeniu przez 100 przecinek przesuwa się o 2 miejsca w prawo.

Wersja z dnia: 08.09.2011

http://matematyka.strefa.pl

Procenty — strona 1

Jak oblicza ć procenty? Jak wykonuje si ę obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? S ą tu rozwi ą zane zadania i ć wiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf. Download to opracowanie.

Jak widać, szybszy jest sposób 2. Jest z nim tylko jeden problem. Otóż niektórym osobom sprawia kłopot

ustalenie którą z dwóch liczb napisać nad kreską ułamkową a którą pod nią. Można to łatwo ominąć:

— jeśli chcesz otrzymać wynik mniejszy od 100%, to nad kreską ułamkową napisz mniejszą z dwóch liczb

— jeśli chcesz otrzymać wynik większy od 100%, to nad kreską ułamkową napisz większą z dwóch liczb

Sposób 3: Wypisujesz dane w odpowiedni sposób i układasz jedną z dwóch proporcji:

z użyciem symbolu %

bez używania symbolu %

100%— 12

%— 6

100%— 12

— 6

To są dane na podstawie których będzie ułożona proporcja.

To są dane które posłużą do ułożenia proporcji.

% =

To jest poprawnie ułożona proporcja do tego zadania.

To jest poprawnie ułożona proporcja.

Powyższa proporcja po odpowiednich skróceniach.

Skrócono liczbę 12 z liczbą 6.

2=100 /: 2

2=100% /: 2

Zastosowano mnożenie po skosie.

=50

Symbol % nie wyszedł w wyniku końcowym, bo był wypisany w danych.

=50%

Symbol % wyszedł w wyniku końcowym, bo nie był napisany w danych.

Zadanie: Jakim procentem liczby 16 jest liczba 10 ?

Analiza treści zadania

Skoro liczba 10 jest mniejsza od liczby 16, więc oczekujesz wyniku mniejszego od 100%. Zatem nad kre-

ską ułamkową musisz napisać liczbę 10 , a pod nią liczbę 16. By otrzymać wynik w procentach, musisz za-

pisany ułamek zamienić na procenty. Najszybciej zrobisz to mnożąc go przez 100%.

Rozwiązanie

bez układania proporcji

z układaniem proporcji

100%— 16

— 10

To są dane które posłużą do ułożenia proporcji.

To jest poprawnie ułożona proporcja.

Skrócono liczbę 16 z liczbą 10.

8=500% /: 8

Zastosowano mnożenie po skosie.

=62,5%

Odp. Liczba 10 stanowi 62,5% liczby 16.

Wynik wyszedł mniejszy od 100%, bo 10 < 16.

Wersja z dnia: 08.09.2011

http://matematyka.strefa.pl

Procenty — strona 2

Zadanie: Jakim procentem liczby 16 jest liczba 18?

Analiza treści zadania

Skoro liczba 18 jest większa od liczby 16, więc oczekujesz wyniku większego od 100%. Zatem nad kreską

ułamkową musisz napisać liczbę 18, a pod nią liczbę 16. By otrzymać wynik w procentach, musisz zapisa-

ny ułamek zamienić na procenty. Najszybciej zrobisz to mnożąc go przez 100%.

Rozwiązanie

bez układania proporcji

z układaniem proporcji

100%— 16

— 18

To są dane które posłużą do ułożenia proporcji.

To jest poprawnie ułożona proporcja.

Skrócono liczbę 16 z liczbą 18.

8=900% /: 8

Zastosowano mnożenie po skosie.

=112,5%

Odp. Liczba 18 stanowi 112,5% liczby 16.

Wynik wyszedł większy od 100%, bo 18 > 16.

Ćwiczenie: Jakim procentem liczby 20 jest liczba a) 5

b) 8

c) 12

d) 14,5

e) 20

[Odp. a) 25%, b) 40%, c) 60%, d) 72,5%; e) 100%.]

Ćwiczenie: Jakim procentem liczby 20 jest liczba a) 25

b) 38 c) 42

d) 62,5

e) 100

[Odp. a) 125%, b) 190%, c) 210%, d) 312,5%; e) 500%.]

Ćwiczenie: Jakim procentem liczby 15 jest liczba a) 5

b) 10 c) 15

d) 20

e) 25

[Odp. a) 33,(3)%, b) 66,(6)%, c) 100%, d) 133,(3)%; e) 166,(6)%.]

Ćwiczenie: Jakim procentem liczby 7 jest liczba 3? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 42,86%.]

Ćwiczenie: Jakim procentem liczby 7 jest liczba 19? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 271,43%.]

Ćwiczenie: Jakim procentem liczby 23,5 jest liczba 14,1? [Odp. 60%.]

Ćwiczenie: Jaki procent 375 cm stanowi 15 cm? [Odp.: 4%.]

Ćwiczenie: Jakim procentem 4 m jest 15 cm? [Podpowiedź. Zamień 4 m na centymetry. Odp.: 3,75%.]

Ćwiczenie: Jakim procentem 7 kg jest 14 dag? [Podpowiedź. Zamień 7 kg na dekagramy. Odp.: 2%.]

Ćwiczenie: Jaki procent wszystkich kółek stanowią kółka zielone? Jakim procentem sumy kółek po-

marańczowych i niebieskich jest liczba kółek zielonych? [Odp. 25%, 33,(3)%.]

Ćwiczenie: Diagram kołowy podzielono na 24 równe części. Kolorem żółtym zamalowano

2 sąsiadujące ze sobą kawałki, czerwonym 3, zielonym 4, niebieskim 6, zaś pomarańczowym 9. Jakie

wartości procentowe przedstawia ten diagram kołowy? [O diagramach kołowych możesz przeczytać na stronie

Błąd! Nie zdefiniowano zakładki..] [Odp.: 8,(3)%; 12,5%; 16,(6)%; 25%; 37,5%.]

Ćwiczenie: Przez 6 dni kwietnia padał śnieg. Jaki procent kwietnia stanowią dni w których padał śnieg? [Podpowiedź. Ile

dni ma kwiecień? Odp. 20%.]

Ćwiczenie: Filip na 70 rzutów do kosza trafił tylko 14 razy. Jaką procentową skuteczność miał Filip? [Odp. 20%.]

Ćwiczenie: Na początku 2009 roku Państwowa Inspekcja Handlowa poinformowała, że na 1800 skontrolowanych

stacji benzynowych w Polsce, 140 sprzedawało paliwo złej jakości. Jaki procent skontrolowanych stacji

benzynowych stanowiły stacje sprzedające paliwo złej jakości? [Odp. 7,(7)%.]

Ćwiczenie: Klasa liczy 24 uczniów, w tym 15 dziewczyn. Jaki procent uczniów tej klasy stanowią chłopcy? [Odp. 37,5%.]

Wersja z dnia: 08.09.2011

http://matematyka.strefa.pl

Procenty — strona 3

Ćwiczenie: Klasa liczy 30 uczniów. Jeden z uczniów tej klasy wyprawił w domu swoje urodziny na które zaprosił ca-

łą swoją klasę. Na przyjęcie przyszło tylko 12 osób z jego klasy. Jaki procent całej klasy stanowią osoby

które nie przyszły na przyjęcie urodzinowe? [Podpowiedź. Ile osób z jego klasy zostało zaproszonych? Odp. 56,(6)%.]

Ćwiczenie: W gimnazjum powiatowym uczy się 520 uczniów. 442 uczniów tego gimnazjum nigdy nie było poza

granicami Polski. Jaki procent uczniów tego gimnazjum stanowią uczniowie którzy byli choć raz poza

granicami Polski? [Podpowiedź. Ile uczniów tego gimnazjum było choć raz poza granicami Polski? Odp. 15%.]

Ćwiczenie: Na kurs języka rosyjskiego zapisało się 60 osób. Wśród nich było 24 mężczyzn. Jaki procent wszystkich

słuchaczy stanowiły kobiety? [Podpowiedź. Ile kobiet zapisało się na ten kurs? Odp. 60%.]

Ćwiczenie: Podstawa trójkąta ma długość 8 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę 5 cm. Bok kwadratu jest

równy 6 cm. Jaki procent pola trójkąta stanowi pole kwadratu? [Odp. 180%.]

Ćwiczenie: Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę 4 cm.

Bok kwadratu jest równy długości ramienia tego trójkąta. Jaki procent pola kwadratu stanowi pole

trójkąta? [Podpowiedź. Wykorzystaj tw. Pitagorasa do wyliczenia długości ramienia trójkąta lub dopatrz się trójkąta egipskiego. Odp. 48%.]

Ćwiczenie: Jaki procent pola kwadratu stanowi pole trójkąta równobocznego zbudowanego na boku tego kwadra-

tu? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 25 √ 3%≈43,30%.]

Ćwiczenie: Jakim procentem liczby 15 jest suma jej wszystkich dzielników dodatnich? [Odp. 160%.]

Ćwiczenie: Po zakończeniu suszenia grzybów z 25 kg zrobiło się 2,25 kg grzybów suszonych. Jakim procentem ma-

sy świeżych grzybów była masa wody która wyparowała? [Odp. 91%.]

Ćwiczenie: W pewnej szkole uczy tylko 6 nauczycieli. Zapytano uczniów jednej klasy, którego nauczyciela lubią

najbardziej. Przedstaw poniższe wyniki za pomocą procentowego wykresu kolumnowego.

nauczyciel 1

nauczyciel 2 nauczyciel 3

nauczyciel 4

nauczyciel 5

nauczyciel 6

uczeń 1

nie

tak

nie

uczeń 2

nie

tak

nie

uczeń 3

tak

nie

tak

nie

uczeń 4

nie

tak

nie

tak

nie

uczeń 5

nie

uczeń 6

nie

uczeń 7

tak

nie

tak

nie

uczeń 8

nie

tak

uczeń 9

nie

tak

nie

tak

nie

uczeń 10

nie

tak

nie

tak

nie

Ćwiczenie: Uzupełnij poniższą tabelkę.

kino 1

kino 2

kino 3

kino 4

liczba dorosłych

120

150

liczba dzieci

600

250

liczba widzów

800

procent widzów jaki

stanowią osoby dorosłe

60%

procent widzów jaki

stanowią dzieci

33,(3)%

Wersja z dnia: 08.09.2011

http://matematyka.strefa.pl

Procenty — strona 4

Zadanie: Ile kopert wystarczy dorysować do rysunku obok, aby stanowiły one 35% wszystkich figur?

Rozwiązanie

[Tekst napisany jasnoszarym kolorem można wykonać w myślach.]

podejście rozumowe

podejście wyliczeniowe

35% = 35

100 = 7

więc na każde 20 figur musi przypadać dokładnie 7

kopert. Ponieważ figur jest 16, a koperty są 3, więc

dorysowując 4 koperty liczba figur zwiększy na 20,

a liczba kopert na 7. Zatem odpowiedzią jest, że

trzeba dorysować 4 koperty.

=35%

16+

16+ = 7

20 3+ =7(16+ )

60+20 =112+7

20 −7 =112−60

13 =52 /:13

Odp. Należy dorysować 4 koperty.

Zadanie: Ile kopert i ile słoneczek wystarczy dorysować do rysunku obok, aby koperty stano-

wiły 35,5% wszystkich figur?

Rozwiązanie

35,5%= , ⋅

⋅ =

podejście rozumowe

podejście wyliczeniowe

Powyższy ułamek

— liczba kopert jaką trzeba dorysować

— liczba słoneczek jaką trzeba dorysować

oznacza, że na każde 200 fi-

gur musi przypadać dokładnie 71 kopert. Zatem

należy dorysować 68 kopert (co zwiększy liczbę fi-

gur na 84) i 116 słoneczek (co da w sumie oczeki-

wane 200 figur).

=35,5%

16+ +

16++ = 71

200

Dwa ułamki są sobie równe, jeśli ich liczniki są sobie równe oraz ich mianowniki są sobie równe.

3+ = 71

16++ = 200

16+ 68

+=200

= 68

=116

Odp. Należy dorysować 68 kopert i 116 słoneczek.

Ćwiczenie: Narysuj 5 kopert i 8 słoneczek. Ile wystarczy dorysować kopert i słoneczek, aby słoneczka stanowiły

18% wszystkich figur? [Odp. k = 36, s = 1.]

Wersja z dnia: 08.09.2011

http://matematyka.strefa.pl

Procenty — strona 5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: