uklady_rownan.pdf

Układy równań stopnia pierwszego

z dwiema i trzema niewiadomymi

Przedmowa

To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać także Ci, co chcą się dowie-

dzieć np. jak rozwiązuje się układy równań liniowych (stopnia pierwszego) metodą wyznacznikową. Wszystko co

tu znajdziesz jest wyjaśnione od podstaw. Nie musisz być orłem z matematyki by zrozumieć o co tu chodzi. Za-

mieściłem tu bardzo dużo rozwiązanych zadań wraz z opisem wszystkich wykonywanych czynności.

Przystępując do omówienia układów równań, zakładam, że wszystko co było we wcześniejszych latach nauki

w gimnazjum jest Ci już świetnie znane. Jeśli nie, to najpierw przeczytaj krótkie przypomnienie tego co powinno

się umieć przed przystąpieniem do rozwiązywania układów równań (strona 66), a dopiero później zacznij czytać

to opracowanie od początku.

Spis tematów

1. Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? .................................................................. 3

2. Rodzaje układów równań i ich nazwy. ............................................................................................................. 5

— układ sprzeczny .......................................................................................................................................... 7

— układ nieoznaczony ................................................................................................................................. 11

— układ oznaczony ...................................................................................................................................... 14

— układy równoważne .................................................................................................................................. 15

3. Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. ............................................. 17

— metoda graficzna ..................................................................................................................................... 18

— metoda podstawiania .............................................................................................................................. 19

— metoda przeciwnych współczynników .................................................................................................... 20

— metoda wyznacznikowa (Sarrusa dla układów Cramera) ........................................................................ 25

— sprawdzanie otrzymanego wyniku .......................................................................................................... 27

— zadania tekstowe ..................................................................................................................................... 28

— o sumie i różnicy dwóch liczb ........................................................................................................... 29

— z układaniem równania dotyczącego łącznej wartości czegoś ......................................................... 32

— o przelewaniu np. wody z jednego zbiornika do drugiego ............................................................... 37

— o wycieczce na którą pojechała jakaś grupa osób ............................................................................ 39

— dotyczące geometrii np. trójkątów lub czworokątów ...................................................................... 42

— na ułożenie 3-ch równań redukujących się do 2-ch równań stopnia pierwszego ........................... 42

— m.in. na przestawianie cyfr w liczbie ................................................................................................ 45

— dotyczące obliczania wieku (liczby lat) danej osoby ........................................................................ 51

— dotyczące obliczania liczby rodzeństwa danej osoby ...................................................................... 52

Wersja z dnia: 02.05.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 1

Opracowanie to omawia rozwi ą zywanie układó w równa ń metod ą podstawiania, przeciwnych współczynników, graficzn ą , wyznacznikow ą . Wyja ś nia typy (rodzaje) układów równa ń : oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny oraz poj ę cia: układ równa ń , stopie ń układu równa ń , dodawanie i odejmowanie stronami, podstawianie. To jest darmowy e-book (opracowanie) pdf do gimnazjum. Nauczysz si ę z nim jak rozwi ą zywa ć układ równa ń liniowych (stopnia pierwszego). Download go.

4. Rozwiązywanie układów trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi. ............................................... 53

— metoda wyznacznikowa .......................................................................................................................... 53

— metoda przeciwnych współczynników .................................................................................................... 55

— zadania tekstowe ..................................................................................................................................... 57

5. Rozwiązywanie układów równań z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia. .................................. 59

6. Stężenia procentowe. ..................................................................................................................................... 62

7. Omówienie niektórych zagadnień przydatnych przy rozwiązywaniu układów równań. ............................... 66

— wzory skróconego mnożenia oraz przekształcanie wyrażeń algebraicznych .......................................... 66

— sformułowania najczęściej występujące w zadaniach tekstowych ......................................................... 68

— procenty ................................................................................................................................................... 68

— równania, proporcje ................................................................................................................................ 69

Wersja z dnia: 02.05.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 2

Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań?

Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamerką np.

=10

−

Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np.

lub

. Zmienne mogą być podnie-

sione do jakiejś potęgi, ale różnej od 0. Przykłady układów równań:

−7

=10

−5

−2

−5

−4

−3

=−10

Równania tworzące układ równań powinno się podpisywać tak, by znaki równości były idealnie jeden nad drugim.

W matematyce układy równań stosuje się w celu szybszego otrzymania wyniku z zadania tekstowego. Zasada jest

taka, że na podstawie treści zadania układasz przynajmniej dwa równania z dwiema niewiadomymi, spinasz je

z lewej strony klamerką i przystępujesz do znalezienia rozwiązania. Co jest rozwiązaniem układu równań napiszę

później.

Ponieważ w gimnazjum omawiane są tylko układy złożone z dwóch równań o dwóch zmiennych podniesionych do

potęgi pierwszej (wówczas potęgi się nie pisze), więc od tej pory wszystko co będę pisać, będzie się tyczyć wyłącznie

tego typu układów równań.

Znalezienie rozwiązania danego układu równań polega na tym, by znaleźć takie liczby które wstawione za-

miast zmiennych sprawią, że w obu równaniach strona lewa będzie równa stronie prawej. Zobacz to na

przykładzie już wcześniej napisanego układu równań:

=10

−

Jeśli w równaniu pierwszym zamiast

np. liczbę 2, to strona lewa będzie

równa stronie prawej. Wstawiając jednak te same liczby do równania drugiego, sprawisz, że jego strona lewa nie

będzie równa stronie prawej. Wnioskujesz więc, że liczby te nie spełniają tego układu równań (nie są jego rozwiąza-

niem), bo w równaniu drugim lewa strona nie wyszła równa stronie prawej.

napiszesz liczbę przypuśćmy 8 i zamiast

Skoro powyższe liczby tj.

=2 nie były rozwiązaniem powyższego układu równań, więc szukasz innych liczb

i robisz to tak długo, aż znajdziesz dwie takie liczby, które spełniają oba równania jednocześnie. Wybierasz więc

przykładowo

=8 i

= 5 i

= 1 i sprawdzasz czy spełniają one dany układ równań. Jeśli zamiast

w obu równaniach na-

piszesz liczbę 5 i w obu równaniach zamiast

napiszesz liczbę 1 , to w drugim równaniu strona lewa będzie w praw-

dzie równa stronie prawej, ale w pierwszym równaniu nie. Zatem

=1 nie spełniają tego układu równań,

bo tylko w jednym równaniu strona lewa wyszła równa stronie prawej. Szukasz więc innych liczb. Niech tym razem

będą nimi:

=5 i

=−10 i

=15. Jeśli zamiast

w obu równaniach napiszesz liczbę −10 i w obu równaniach zamiast

napiszesz liczbę 15, to ani w pierwszym ani w drugim równaniu strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Za-

tem te liczby również nie spełniają tego układu równań. Wybierasz więc jeszcze inne liczby — takie które wydają Ci

się że mogą spełniać ten układ równań, choć nie masz pewności czy tak w rzeczywistości będzie. Sprawdzasz więc

liczby

napiszesz

liczbę 3, to w pierwszym równaniu strona lewa będzie równa stronie prawej i w równaniu drugim również strona

lewa będzie równa stronie prawej. Nareszcie metodą prób i błędów udało się znaleźć takie dwie liczby które spełnia-

ją oba te równania jednocześnie. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest

=7 i

=3. Jeśli zamiast

w obu równaniach napiszesz liczbę 7 i w obu równaniach zamiast

lub krócej

— jest nim para liczb ( 7 ; 3 ) — zauważ, że liczby są ujęte w nawias zwykły i rozdzielone średnikiem (tak jakby to były

współrzędne punktu w układzie współrzędnych).

W rozwiązywaniu układów równań chodzi o to, by nie znajdować rozwiązania (wspólnej pary dla podanych równań)

w taki sposób jak to robiliśmy powyżej (chybił-trafił), lecz dokładnie je wyliczyć w oparciu o jakąś metodę.

Wersja z dnia: 02.05.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 3

No dobra. Masz już rozwiązanie powyższego układu równań i mogłoby się wydawać, że to już koniec. Tymczasem

tak nie jest.

Sformułowanie rozwiązać układ równań oznacza, że trzeba znaleźć wszystkie wspólne pary (

;

) dla poda-

nych równań, a nie tylko jedną z nich. Zobacz:

równanie pierwsze tj.

=10 jest spełnione m.in. przez pary (

;

(0; 10), (1; 9), (2; 8), (3; 7), (7; 3) , (8; 2), (9; 1), (11; –1), (12; –2)

a równanie drugie:

−

=4 m.in. przez pary (

;

(0; –4), (1; –3), (2; –2), (5; 1), (7; 3) , (8; 4), (9; 5), (10; 6), (13; 9).

Ponieważ oba równania są spełnione przez nieskończenie wiele różnych par, więc może się zdarzyć, że oprócz znale-

zionej wspólnej pary (7; 3) istnieją jeszcze inne wspólne pary które spełniają ten układ równań. Tych wspólnych par

może być nawet nieskończenie wiele, a szukać ich należy także pośród ułamków, pierwiastków, liczb mieszanych

oraz liczb ujemnych. Nie można więc poszukiwać rozwiązania układu równań metodą na chybił-trafił jak to było ro-

bione powyżej. Co by było gdybym zamiast

nie wstawił liczby 7 i zamiast

liczby 3? Powstałoby wrażenie, że po-

wyższy układ równań nie ma rozwiązania — a tak nie jest.

By znaleźć wszystkie rozwiązania danego układu równań, należy posłużyć się jakąś metodą która pozwoli w sposób

rachunkowy (bez zgadywania), wyznaczyć wszystkie wspólne pary. W przypadku układu równań składającego się

z dwóch równań stopnia pierwszego (zmienne są podniesione do potęgi pierwszej), metody pozwalające wyznaczyć

wszystkie rozwiązania nazywają się tak:

— podstawiania (algebraiczna)

— przeciwnych współczynników (algebraiczna)

— graficzna

— wyznacznikowa (algebraiczna) zwana także metodą Sarrusa

— eliminacji Gaussa

— Kroneckera-Cappellego

i zostaną one pojedynczo omówione w następnych tematach (oprócz dwóch ostatnich — zakres studiów).

Zauważ, że sposób zapisywania par spełniających dane równanie jest dokładnie taki sam jak sposób zapisywania

współrzędnych punktów w układzie współrzędnych. Nie jest to zbieg okoliczności. Każdą parę spełniającą dane rów-

nanie możesz zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli w jednym układzie współrzędnych zaznaczysz

wszystkie pary spełniające równanie pierwsze (na ogół będzie ich nieskończenie wiele), to otrzymasz jakąś linię (wy-

kres funkcji) — w zadaniach z zakresu gimnazjum na ogół będzie to prosta. Gdy zrobisz to samo z drugim równa-

niem, to otrzymasz drugą linię (następny wykres funkcji). Rozwiązaniem danego układu równań będą współrzędne

tych punktów które należą jednocześnie do obu narysowanych wykresów.

−2

=29

Ćwiczenie: Sprawdź czy para (5;3) spełnia układ równań:

. [Podpowiedź. W obu równaniach zamiast napisz liczbę

5 (pierwsza podana współrzędna) a zamiast liczbę 3. Sprawdź, czy w każdym równaniu strona lewa jest równa stronie prawej. Odp. Tak, spełnia.]

=23

Ćwiczenie: Wypisz 8 par (

;

) spełniających równanie pierwsze, a następnie 8 par (

;

) spełniających równanie

−

=12

drugie układu równań:

. Jaka para liczb (

;

) jest wspólna dla obu tych równań?

[Odp. ( ; )=(6; 0).]

−3

=12

Ćwiczenie: Wypisz po 10 par (

;

) spełniających równania układu równań:

. Jaka para liczb (

;

)

jest wspólna dla obu tych równań? [Odp. ( ; )=(3;−2).]

Wersja z dnia: 02.05.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 4

Temat: Rodzaje układów równań i ich nazwy.

Układowi równań możesz nadać nazwę zależnie od:

1. Liczby równań

— układ mający 2 równania nazywa się układem 2-ch równań

−

=12

— układ mający 3 równania nazywa się układem 3-ch równań

−5

−2

−3

=−10

itd.

2. Liczby zmiennych

— układ mający 2 zmienne np.

nazywa się układem o 2-ch zmiennych

−

=12

= 7

Układ równań:

też jest układem o 2-ch zmiennych, bo można go zapisać w postaci równoważnej:

+ 0

= 6

— układ mający 3 zmienne np.

nazywa się układem o 3-ch zmiennych

−5

−2

−3

=−10

itd.

3. Największego stopnia równania

— układ którego największy stopień równania wynosi 1 (wszystkie zmienne podniesione są do potęgi 1) nazywa

się układem stopnia 1-wszego lub układem liniowym

−

=12

— układ którego największy stopień równania wynosi 2 nazywa się układem stopnia 2-giego

−7

=10

−5

−4

itd.

4. Liczby różnych rozwiązań (lub ich braku)

— układ nie mający ani jednego rozwiązania (0 rozwiązań) nazywa się układem sprzecznym

Wersja z dnia: 02.05.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: