wzory_skroconego_mnozenia.pdf

(335 KB) Pobierz
Wzory skróconego mnożenia
Przedmowa
Opracowanie to jest napisane z myślą o gimnazjalistach którzy całkowicie nie rozumieją wzorów skróconego
mnożenia i chcą je perfekcyjnie umieć oraz rozumieć.
Swoje uwagi możesz napisać na: matematyka.gim.sp@gmail.com
Spis tematów
1. Wstęp. ......................................................................................................................................................................... 2
2. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń: +
=
+2 +
. .................................................................................... 3
— Ustalanie co trzeba wpisać zamiast i ............................................................................................................ 3
— Obliczanie wartości
oraz
........................................................................................................................... 5
— Obliczanie wartości wyrażenia 2 .................................................................................................................... 7
— Pełne obliczenia wg wzoru .................................................................................................................................. 8
— Wyprowadzenie wzoru ..................................................................................................................................... 12
— Zwijanie wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia ....................................................................................... 13
3. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń: −
. ....................................................................................
— Ustalanie co trzeba wpisać zamiast i ...............................................................................................................
=
−2 +
— Obliczanie wartości
oraz
..............................................................................................................................
— Obliczanie wartości wyrażenia 2 .......................................................................................................................
— Pełne obliczenia wg wzoru .....................................................................................................................................
— Wyprowadzenie wzoru ..........................................................................................................................................
— Zwijanie wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia ............................................................................................
4. Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę: − + =
−
. ..............................................................
— Ustalanie co trzeba wpisać zamiast i ...............................................................................................................
— Pełne obliczenia wg wzoru .....................................................................................................................................
— Wyprowadzenie wzoru ..........................................................................................................................................
— Zwijanie wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia ............................................................................................
5. Inne wzory skróconego mnożenia. ................................................................................................................................
Wersja z dnia: 25.03.2012
http://matematyka.strefa.pl
Wzory skróconego mnożenia — strona 1
Wzory skróconego mno ż enia omówione krok po kroku, bardzo zrozumiale i przejrzy ś cie. Download to darmowe opracowanie pdf z matematyki do gimnazjum.
Temat: Wstęp.
Nim podam Ci jak wyglądają wzory skróconego mnożenia oraz po co one są, najpierw zadam Ci pytanie z pozoru nie
związane z tym tematem. Brzmi ono tak: „Po co w klasach I — III szkoły podstawowej trzeba było się uczyć na pa-
mięć całej tabliczki mnożenia?” i od razu na niego odpowiem: „Bo nauczenie się wyników działań na pamięć, przy-
spiesza otrzymywanie wyników końcowych z dokonywanych obliczeń. Zamiast coś liczyć przez 1 minutę, można ten
sam wynik otrzymać np. po 1 sekundzie.” Chodzi więc o znaczne przyspieszenie obliczeń. Ze wzorami skróconego
mnożenia jest dokładnie tak samo. Trzeba się ich nauczyć na pamięć, by móc odczuwalnie szybciej wykonywać obli-
czenia.
Wzorów skróconego mnożenia jest dość dużo, ale najczęściej używa się tylko 3-ch z nich:
Wzór skróconego mnożenia
Nazwa wzoru
a) + = +2 +
Kwadrat sumy dwóch wyrażeń
b) − = −2 +
Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę
lub
Iloczyn sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę
c) − + = −
Pozostałe wzory skróconego mnożenia:
+
=
+3
+3
+
−
+
+
=
−
=
−3
−
+
+
+
−
−
+3
−
+
=
=
+4
+4
+
+
−
+
+6
−
+
=
=
−4
−4
+
−
+
−
−
+6
−
+
+
+
=
=
+
+
+2
+
+
+2
+2
=
+
+
+2
+2
+
+
+
+2
+2
+
+2
+2
=
+
+
+2
+2
+2
+
+
+
+
+
+2
+2
+
+2
+2
+2
+2
+2
Zwróć uwagę, że na podstawie powyższych wzorów na − oraz − można już samodzielnie ustalić wzory
skróconego mnożenia dla − i pozostałych tego typu wyrażeń o potęgach nieparzystych. Wystarczy tylko zwró-
cić uwagę na to, że w drugim nawiasie potęgi przy maleją o 1, a przy rosną o 1. Szczegóły jak to robić zostaną
podane w jednym z tematów tego opracowania.
Przy wzorach postaci − minus pojawia się tylko tam, gdzie jest podniesione do potęgi nieparzystej.
Ustalanie wzorów typu + oraz − robi się z wykorzystaniem tzw. trójkąta Pascala. Zostanie to pokaza-
ne w jednym z dalszych tematów tego opracowania.
Wersja z dnia: 25.03.2012
http://matematyka.strefa.pl
Wzory skróconego mnożenia — strona 2
Wzory skróconego mno ż enia omówione krok po kroku, bardzo zrozumiale i przejrzy ś cie. Download to darmowe opracowanie pdf z matematyki do gimnazjum.
812725950.043.png 812725950.044.png 812725950.045.png 812725950.046.png 812725950.001.png 812725950.002.png 812725950.003.png 812725950.004.png 812725950.005.png
 
Temat: Kwadrat sumy dwóch wyrażeń.
ż
,
ż
ż
ó
żń
)
=
+
(
+
+2
Zamiast słowa „wyraz” można używać słowa „wyrażenie”. Domyślnie chodzi o „wyrażenie algebraiczne”.
Zamiast słowa „suma algebraiczna” także można używać sformułowania „wyrażenie algebraiczne”.
Jeśli na podstawie wyrażenia podanego w nawiasie, umiesz rozpoznawać ile wynosi i oraz umiesz je poprawnie
podnosić do potęgi 2 w każdym przypadku (nawet gdy są pierwiastki), to możesz od razu przejść na stronę 8.
Jeśli chcesz wiedzieć jak otrzymano ten wzór, przejdź stronę 12.
Ustalanie co trzeba wpisać zamiast i
W powyższym wzorze, literka oznacza wszystko co jest w nawiasie między nawiasem otwierającym, a symbolem
dodawania (znakiem plus), zaś literka oznacza wszystko co jest między symbolem dodawania (znakiem plus) a na-
wiasem zamykającym. Zobacz przykłady:
wyrażenie
wyrażenie
)
(5
+
)
(
√
9
+4
√
6
9 4
5
√
√
6
) 3
) −8 3
(3
+5
(−8
+3
5
1
2 4,7
) 5
1
(5
+3
3
2 +4,7
Na razie nie ma w tym nic trudnego, czego można byłoby się obawiać.
Czy zawsze w nawiasie musi być plus?
By móc zastosować ten wzór o którym mowa, to tak.
A jeśli w nawiasie między wyrazami nie będzie plusa?
To wtedy tego wzoru stosować nie można.
Czy za nawiasem zawsze musi być potęga 2-ga?
By móc stosować ten wzór, to tak. Gdyby za nawiasem była inna potęga niż 2, to suma algebraiczna która jest na
prawo od znaku równości wyglądałaby zupełnie inaczej. Pokażę ją w dalszej części tego opracowania.
Czy w nawiasie muszą być zawsze dokładnie 2 wyrazy?
Nie. Nie jest to przymusowe, ale jeśli są tylko 2 wyrazy, to ten wzór daje prawie natychmiastowo wynik końcowy.
W przeciwnym razie wydłuża obliczenia, a nie je skraca. Zobacz przykłady z 3-ma wyrazami w nawiasie:
wyrażenie
wyrażenie
) 5
) 8
(5
+
+4
(8
+7
−1
+4
7
−1
)
)
(3
−2
+8
(5+
+4
5+
4
3
−2
8
Zauważ, że jeśli w nawiasie są dokładnie 3 wyrazy, rozdzielone tylko plusami (lewa tabelka), to i możemy przyj-
mować dowolnie. Jeśli w nawiasie są dokładnie 3 wyrazy, rozdzielone jednym plusem i jednym minusem (tabelka
prawa), to by móc zastosować ten wzór skróconego mnożenia trzeba i tak ustalić, by pomiędzy nimi był plus.
Gdyby między i stał minus, to z tego wzoru skróconego mnożenia nie wolno byłoby korzystać.
Wersja z dnia: 25.03.2012
http://matematyka.strefa.pl
Wzory skróconego mnożenia — strona 3
Wzory skróconego mno ż enia omówione krok po kroku, bardzo zrozumiale i przejrzy ś cie. Download to darmowe opracowanie pdf z matematyki do gimnazjum.
812725950.006.png 812725950.007.png 812725950.008.png 812725950.009.png 812725950.010.png 812725950.011.png 812725950.012.png 812725950.013.png 812725950.014.png 812725950.015.png 812725950.016.png 812725950.017.png 812725950.018.png 812725950.019.png 812725950.020.png 812725950.021.png 812725950.022.png 812725950.023.png 812725950.024.png 812725950.025.png 812725950.026.png 812725950.027.png 812725950.028.png 812725950.029.png 812725950.030.png 812725950.031.png 812725950.032.png 812725950.033.png 812725950.034.png
Jeśli ustalone lub zawiera znak dodawania lub odejmowania, to całe to lub warto wziąć w nawias, tak jak
w powyższych tabelkach. Branie w nawias nie jest konieczne, ale przy obliczeniach pozwoli uniknąć błędów.
Jeśli w nawiasie będzie więcej wyrazów niż 3, to postępowanie z ustaleniem i jest dokładnie takie samo. Przy-
pominam jednak, że gdy w nawiasie są przynajmniej 3 wyrazy, to istnieją inne wzory skróconego mnożenia które
dadzą szybciej ten sam wynik, co omawiany teraz wzór.
Podany wzór skróconego mnożenia mający 2 wyrazy w nawiasie, najlepiej stosować tylko wtedy, gdy w nawiasie są
dokładnie 2 wyrazy. W przeciwnym razie, wydłuży on obliczenia, a nie je skróci.
Czy wzór: + = +2 + można stosować np. do takiego wyrażenia: 3−4 ?
Można, ale najpierw trzeba to wyrażenie w nawiasie przekształcić do postaci: 3 + −4
. Wówczas będzie
równe 3, zaś =−4. Nie ma jednak potrzeby tak robić, bo do tego typu wyrażeń jest inny wzór skr. mnożenia.
Ćwiczenie:
Ustal ile wynosi i w podanych wyrażeniach.
√
a) (3+7
)
b) (5
+0,8)
c) (−4
)
e) (
)
+7
d)
+2
+3
√
3+2
[a) =3, =7; b) =5, =0,8; c) =−4, =7 ; d) =√3, =2√; e) =, = 2+3 lub = +2 , =3.]
Uwaga. W niektórych podręcznikach, zamiast omawianych powyżej literek i , stosuje się literki i . Wówczas
ten wzór skróconego mnożenia przybiera postać równoważną:
+ = +2 +
do podanej wyżej postaci z literkami i . Nie ma też żadnego problemu z tym, by go przerobić na jeszcze
inne literki np. i :
+ = +2 +
We wzorze tym, ważne jest tylko to, by to co jest po prawej stronie znaku równości miało analogiczną po-
stać do tej z literkami i .
Nim przejdę do obliczeń wg tego wzoru, wiedz jeszcze, że potęga 2 która jest za nawiasem, oznacza mnożenie tego
nawiasu przed drugi taki sam nawias. Przykładowo, jeśli będzie trzeba szybko otrzymać wynik takiego działania:
5 + 4 5 + 4
to zamiast tych 2-ch identycznych nawiasów piszesz krócej: 5 + 4 i jako przyjmujesz 5 i jako wyraz 4.
Ćwiczenie:
Podany iloczyn dwóch wyrażeń, zapisz krócej oraz ustal ile wynosi i .
a) (4+3)(4+3)
b) (3 √ 7+4)(3 √ 7+4)
[a) Krótsza postać: 4+3 ;=4; =3; b) Krótsza postać: 3√7+4
;=3√7; =4.]
Z klasy pierwszej szkoły podstawowej, zapewne pamiętasz, że wynik działania 3+2 jest dokładnie taki sam jak wy-
nik działania 2+3, a wynik działania 4+1 jest taki sam jak działania 1+4 i że nazywało się to przemiennością do-
dawania.
W przypadkach takich jak ten: 6 + 11 11 + 6 zawartość nawiasów nie jest identyczna, więc zastosowanie
omawianego wzoru skróconego mnożenia nie jest możliwe, chyba, że w oparciu o przemienność dodawania, zmie-
nisz kolejność wyrazów w jednym z nawiasów zawierających plus. Wówczas otrzymasz:
6 + 11 6 + 11 czyli 6 + 11
lub
Wersja z dnia: 25.03.2012
http://matematyka.strefa.pl
Wzory skróconego mnożenia — strona 4
Wzory skróconego mno ż enia omówione krok po kroku, bardzo zrozumiale i przejrzy ś cie. Download to darmowe opracowanie pdf z matematyki do gimnazjum.
812725950.035.png 812725950.036.png 812725950.037.png 812725950.038.png 812725950.039.png 812725950.040.png 812725950.041.png
11 + 6 11 + 6 czyli 11 + 6
i bez problemu ustalisz i . Tym, że w górnej postaci =6, =11 a w dolnej odwrotnie: =11, =6
się nie przejmuj, bo wynik końcowy po zastosowaniu tego wzoru wyjdzie idealnie taki sam.
Ćwiczenie:
Zapisz krócej wyrażenie: (5+4)(4+5) oraz ustal ile wynosi w nim i .
[Podp. Wykorzystaj przemienność dodawania w jednym z nawiasów. Krótsza postać: 5+4 lub 4+5 ;=5,=4 lub =4; =5.]
Obliczanie wartości oraz
Teraz wyobraź sobie, że = 5 a Twoim zadaniem jest obliczyć ile wynosi . W tym celu musisz w myślach 5
wziąć w nawias i do potęgi 2 podnieść zarówno liczbę 5 oraz niewiadomą . Obliczenia powinny wyglądać tak:
= 5 = 5 ⋅ =25
Dlaczego powyżej za drugim znakiem równości oddzielnie do potęgi 2 jest podnoszona liczba 5 i oddzielnie niewia-
doma ? Bo zapis 5 jest równoważny zapisowi: 5 ⋅ 5 . Ten zaś jest równoważny zapisowi: 5 ⋅ ⋅ 5 ⋅ . Wyko-
rzystując przemienność mnożenia, można go zapisać w postaci: 5 ⋅ 5
= 5 ⋅ .
⋅ ⋅
Wiedząc ile wynosi , oblicz .
Ćwiczenie:
a)
b)
c)
d)
e)
=4
=10
=5
=20
=3
[Odp. a) =16 ; b) =100 ; c) =25 ; d) =400 ; e) =9 lub w kolejności alfabetycznej: =9 .]
Wyliczanie robi się dokładnie tak samo jak .
Wiedząc ile wynosi , oblicz .
Ćwiczenie:
a)
b)
c)
d)
e)
=10
=8
=2
=16
=11
[Odp. a) =100 ; b) =64 ; c) =4 ; d) =256 ; e) =121 lub w kolejności alfabetycznej: =121 .]
Podobnie jest jeśli np. = . Aby obliczyć wystarczy w myślach wykonać działanie: ⋅ i każdą z tych potęg
rozpisać w myślach jako mnożenie 3-ch iksów przez siebie. Otrzymasz wówczas:
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A da się powyższy wynik otrzymać szybciej, bez takiego rozpisywania? Tak. Wystarczy, że mając postać: =
i znając wynik końcowy tj. dopatrzysz się mnożenia potęg (tej co jest w nawiasie przez tą co jest za nawiasem).
Wiedząc ile wynosi , oblicz .
Ćwiczenie:
a)
b)
c)
d)
e)
=
=
=
=
=
[Odp. a) = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) = .]
Wiedząc ile wynosi , oblicz .
Ćwiczenie:
a)
b)
c)
d)
e)
=
=
=
=
=
[Odp. a) = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) = .]
Z podnoszeniem ułamków zwykłych do potęgi 2 jest podobnie. Zamiast rozpisywać w myślach, że:
można od razu do potęgi tej co jest za nawiasem podnieść licznik, a potem mianownik, otrzymując w myślach taki
⋅
=
=
Wersja z dnia: 25.03.2012
http://matematyka.strefa.pl
Wzory skróconego mnożenia — strona 5
Wzory skróconego mno ż enia omówione krok po kroku, bardzo zrozumiale i przejrzy ś cie. Download to darmowe opracowanie pdf z matematyki do gimnazjum.
812725950.042.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin