W06-Fizyka-Haran.pdf

Fizyka dla elektroników 1

Dr Grzegorz Harań

Wykład 06

Mechanika

Praca i energia

Centralne zderzenie doskonale sprężyste

Rozważmy przypadek równych mas m 1 = m 2 , wtedy:

V 1k = V 2p

V 2k = V 1p

Następny przypadek:

m 2 ≫ m 1 ⇔ m 1

m 2 ≪1, U 2p =0 (np. zderzenie ze ścianą)

m 1

m 2 −1

m 1

m 2 1

V 1k = m 1 − m 2

m 1  m 2 V 1p =

V 1p ≈− V 1p

m 1

m 2

m 1

m 2 1

V 2k = 2m 1

m 1  m 2 V 1p =2

V 1p ≈2 m 1

m 2 V 1p  m 1 ∞ 0

Krótki komentarz dotyczący zderzeń niecentralnych, na przykład na płaszczyźnie (zderzeń

sprężystych)

Szukamy p 1 k x ,p 1 k y ,p 2 k x ,p 2 k y - 4 wielkości, a mamy następujące równania:

Zasada zachowanie pędu:  p 1 p   p 2 p =  p 1 k   p 2 k ⇔ p 1 p x  p 2 p x = p 1 k x  p 2 k x

p 1 p y  p 2 p y = p 1 k y  p 2 k y

Zasada zachowania energii: m 1 V 1 p

2  m 2 V 2 p

2 = m 1 V 1 k

2  m 2 V 2 k

2r 

tzn. 3 równania i dlatego korzysta się z układu biegunowego i mierzy się jeden z kątów

rozproszenia.

 mV 2

2 = p 2

Środek masy układu cząstek

N-cząstek o masach m 1 ,m 2, ... ,m n w położeniach odpowiednio  r 1 ,  r 2 , ... ,  r n :

Położenie środka masy:  r śm = 1

∑ i =0

 r i m i

∑ i =1

m i

 r śm = x śm ,y śm ,z śm 

M = ∑ i =0

m i - całkowita masa układu

x śm − 1

x i m i y śm − 1

y i m i z śm − 1

M ∑ i =1

z i m i

Przykład: Dwie masy m 1 , 2m 1 w położeniach r 1 =1,0,0 ,  r 2 =2,0,0

 r śm = x śm ,0,0

x śm = 1

3m 1 ∗ m 1 2m 1 ∗2= 5

Prędkość środka masy  V śm = d

M ∑ i  r i m i = 1 M ∑ i m i d  r i

dt = 1

M ∑ i m i  V i = 1 M ∑ i  p i

 p i = m i  V i to pęd cząstki numer i

czyli M  V śm = ∑ i  p i =  p całkowity całkowity pęd układu jest równy pędowi cząstki o masie M

(całkowita masa układu) poruszającej się z  V śm (prędkość środka masy) czyli pędowi środka

masy.

Środek masy to taki teoretyczny punkt, którego pęd jest równy pędowi całego układu.

Całkowity pęd układu p całkowity = M  V śm =  p śm to jest pęd środka masy, któremu przypisano całą

masę układu.

dt = ∑ i  F i , gdzie  F i to całkowita (wypadkowa) siła

działająca na cząstkę i .  F i =  F iz   F iw

 F iz - siła zewnętrzna działająca na cząstkę i (np. grawitacja, pole elektromagnetyczne)

 F iw = ∑ j ≠ i  F ij - siła wewnętrzna działająca na cząstkę i ,  F ij to siła z jaką cząstka j działa na

cząstkę i .

 F ij =−  F ji

czyli d  p całkowity

dt = M d  V śm

dt = ∑ i d  p

dt = ∑ i  F iz  ∑ i  F iw =  F z  ∑ i ≠ j  F ij

Zauważmy, że z III zasady dynamiki ∑ i,j

i ≠ j

 F ij = ∑ i,j

i ≠ j

−  F ji =− ∑ i,j

i ≠ j

 F ji =− ∑ j,i

i ≠ j

 F ji =− ∑ i,j

i ≠ j

 F ij ⇒ ∑ i,j

i ≠ j

 F ij =0

dt =  F z , gdzie  F z = ∑ i  F iz jest wypadkową zewnętrzną siła działającą na układ.

Jeśli  F z =0 to p całkowity = const tzn. siły zewnętrzne nie zmieniają pędu układu (Zasada

zachowania pędu dla układu cząstek)

dt = d  p śm

Zmiana w czasie całkowitego pędu układu:

d  p całkowity

tzn. suma wszystkich sił wewnętrznych jest równa 0.

Otrzymaliśmy, że:

d  p całkowity

Energia potencjalna i zasada zachowania energii

Jeśli istnieje jednoznaczna funkcja u   r  taka, że siła  F   r  spełnia równość

 F   r =−∇ u   r =− gradu   r  to siła  F jest siłą potencjalną , a u   r  jest energią potencjalną

tej siły. u   r  Określa pole siły  F i w każdym punkcie przestrzeni działa siła  F =−∇ u :

∇=

 ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z  , ∇ u   r =∇ u  x,y,z =  ∂ u

∂ x , ∂ u

∂ y , ∂ u

∂ z 

(z funkcji skalarnej robi wektor)

Jeśli  F =−∇ u to różniczka u czyli

du  x,y,z = ∂ u

∂ y dy  ∂ u

∂ z dz =

 ∂ u

∂ x , ∂ u

∂ y , ∂ u

∂ z   dx,dy,dz   d  r =  ∇ u  d  r =−  Fd  r

tzn.  Fd  r jest różniczka zupełną.

Policzmy pracę wykonaną przez siłę potencjalną na dowolnej drodze pomiędzy punktami r A ,  r B

W = ∫  r A

 r B

 Fd  r =− ∫  r A

 r B

du = u   r B − u   r A  - nie zależy od drogi

Widzimy, że praca wykonana przez siłę potencjalną nie zależy od

drogi po której była wykonana, a zależy jedynie od położenia

punktów pomiędzy którymi była wykonana.

A stąd mamy koleją własność siły potencjalnej: praca wykonana przez

siłę potencjalną na drodze zamkniętej jest równa zeru.

 r B

 r A

W I = ∫  r A I

 Fd  r,W II = ∫  r A

 Fd  r =− ∫  r B

 Fd  r

 r B

 ∫  r B  r A  Fd  r  =0

W I = W II ⇔ W I − W II =0 ∫  r A

 Fd  r −

 r B

 r A

∫  r A I

 Fd  r  ∫  r B

 Fd  r = ∮  r A

 Fd  r =0

∂ x dx  ∂ u

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: